>>938 補足

まず、定義からｗ
降鎖（降下列）の定義 松坂和夫氏の「集合・位相入門」>>783
「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、
　a_1>a_2>…＞a_n>…
　となるものをAにおける降鎖という」

これを分解すると
１．集合の元を、左から右へ並べる
２．並べた元にn∈Nの番号付けをする
３．結果、a_1,a_2,…,a_n,… の列ができる
４．二項関係として不等号 > について、調べる
５．その結果、a_1>a_2>…>a_n>… ならば、降鎖（降下列）である

逆に、４と５で不等号 < ならば
a_1<a_2<…<a_n<… となり、これは上昇列である

さて、自然数N中では、無限降鎖が作れない
その原因は、２の番号付けにある
即ち、「並べた元にn∈Nの番号付けをする」ときに
必ず、1番と2番と3番・・ とする必要がある
自然数N中では、ある元ｎを1番に選んで、不等号 > について並べるならば、最長でも0で終わるから、有限長にしかならない
（これは、不等号 > の性質からではなく、原因は２の番号付けにある）

不等号 < について見ると
自然数N中では、ある元ｎを選んで、不等号 < について並べるならば、Nは無限集合であり、青天井でいくらでも長くできて、無限長も可

もし、上記２の番号付けが無ければ
1,2,3,・・,ω を逆に並べて
ω,・・,3,2.1 としてかまわない

明らかに
1<2<3<・・<ω
ω>・・>3>2>1
である

但し、前者 ”1<2<3<・・<ω”は、1番からの番号付けが可だが
後者 ”ω>・・>3>2>1”は、1番からの番号付けが不可だ

よって、繰り返すがN中 上昇列は可、降鎖（降下列）は不可
これは、不等号 > や < の役割ではなく、その原因は２の番号付けにある

なので、不等号 > や < の役割を誤解して、ここから有限列だ無限列だ などということは
噴飯ものの議論です
以上