>>253
abel-plana使えば

thm
φmfが超越整関数で偶関数、xについて局所一様に一様にlim[|y|→∞]f(x+iy) = 0であるとき
Σ[n=-∞,∞]f(n) = ∫[-∞,∞]f(x)dx

(∵)
abel-planaより任意のNに対して
Σ[n=-N,N]f(n)
= -f(0) + 2Σ[n=0,∞]f(n)
= -f(0) + 2(1/2f(0) + ∫[0,N]f(x)dx
+ ∫[0,N](f(iy)-f(-iy))/(exp(2πy)-1)dy
- ∫[0,∞](f(N+iy)-f(N-iy))/(exp(2πy)-1)dy )
= 2∫[0,N]f(x)dx
= ∫[-N,N]f(x)dx
であるからN→∞をとって主張は成立する
□

が得られる
本問はf(z) = sinc(√x^2-a^2)(ただしsinc(z)が偶関数である超越整関数であることから自然に√はキャンセンされると考える)としてコレが超越整関数である偶関数であることは自明
以下ではim log(z)∈(-π,π]にとるとする
|1 - (a/(x+iy))^2|<2,
|y|>|x|
であるyにおいて
|√( ( x + iy )^2-a^2 )|
=|√(1 - (a/(x+iy))^2)| |x+iy|
<2√2|y|
により
|im√((x+iy)^2-a^2)| < 2√2y
であるから
|sin√((x+iy)^2-a^2)|
≦2exp( im√((x+iy)^2-a^2))
≦2exp( 2√2y )
により定理が使える