x=0は解
x>0のときm=2^(x-1),k=m+1とおくと
ある自然数nがありn^2=k^2+7m^2と書ける
mとkは互いに素なのでnとkも互いに素
(n-k)(n+k)=7m^2なのでn-kかn+kが7の倍数
n-k=7dの場合(dとkは互いに素)
d(7d+2k)=m^2
mは2の冪なのでdも7d+2kも2の冪になる必要があるが
dとkが互いに素なのでd=2,k=9のみが可能
このときx=4で解となる

n+k=7dの場合
同様にdと(7d-2k)は2の冪であり(d,k)=(1,3)もしくは(2^(i+1),7×2^i-1)となるがk=m+1を満たさず不適

よって解はx=0,4のみ