>>497
実数 a と実数の有限集合Sに対し
p(a,S)(z) = Π[s∈S](z-s)/(a-s)
とする
Dは単位閉円盤{ |z|≦1 }とする

補題　定数b,cがS∩[u,v] = φを満たすとき関数族{p(a,S)(z) | a∈[u,v] }、{p'(a,S)(z) | a∈[u,v] }は共にD上一様有界である

∵) { p'(a,S)(z) | a∈[u,v], z∈D }はコンパクト集合だから有界である
よって一様有界
) { p(a,S)(z) | a∈[u,v], z∈D }はコンパクト集合だから有界である
よって一様有界□

以外主張を示す
AとBを並べて
A={a1,a2,...}, B={b1,b2,...}
とする関数列fnを
(1)fn:は実係数多項式関数の列で(0,1)上単調増加でinff'(t)>0, fn((0,1)) = (0,1)、またsup{ |fi'(z)| z∈D } < 2
(2)i≦nに対しfn(a_i)∈B、bi∈fn(A)
を満たすように構成していく
f0(z) = zで良い
f(n-1)(z)まで構成できたとする
まずg(z)を(1)と(2)のi<nとi=nの前半だけ満たすものとして以下のように定める
f(n-1)(an)∈Bであればg(z)=f(n-1)(z)でよい
そうでないとする
a=an, S={a1,...,a(n-1),0,1}としてp(a,S)(z)を考えるとき十分小さいeを選んで任意のr∈(0,e)に対しf(n-1)+p(a,S)が(1)の条件を満たすようにとれる
そこで(f(n-1)(an)-e,f(n-1)(an)+e)からBの元bを任意に選び
g(z) = f(n-1)(z) + (b-f(n-1)(a))p(a,S)(z)
と定めるときg(z)が求める条件を満たす
fnを構成する
bn∈g(A)であればfn(z)=g(z)でよい
そうでないとする
閉区間[u,v]をS={a1,...,an,0,1}とdisjointかつbn∈g([u,v])ととる(これはb∈[0,1]＼g(S)=∪[[u,v]∩S=φ]g([u,v])により可能である)
補題により十分小さいe>0を任意のr∈(0,e)とa∈[u,v]に対しg(z)+rp(a,S)(z)が(1)の条件を満たすようにとれる
そこでa∈A∩[u,v]を|g(a)-bn|<eとなるようにとる(これはg(A∩[u,v])がg([u,v])で稠密だから可能)
そこでfn(z)=g(z)+(bn-g(a))p(a,S)(z)とおけば条件が満たされる
以上により条件を満たす関数列fn(z)が構成できた
fn(z)は正則関数の同程度連続関数族なのでアスコリアルツィラより極限を持つ部分列fniがとれるがlim[i→∞]fniが求める条件を満たす□