>>537
環 R[x] は単項イデアル整域であるから、イデアル (Σ_i x^ai, Σ_i x^2ai, Σ_i x^3ai, …) を生成する g∈R[x] がとれる。
イデアル (g(x)) は任意の正の整数mについて、
xをx^mに移す環R[x]のR-準同型写像について閉じているので、g(x^m)はg(x)で割りきれる。
これはgの根を何乗しても再びgの根になることを意味する。
そのような根は0か1の累乗根しかあり得ない。
仮に0以外の根を持つならばgは根として1を持つことになり、g(1)=0 となるが、
Σ_i x^ai ∈ (g(x)) のxに1を代入しても0にならないため矛盾する。
したがって g は根を持っていたとしても 0 のみであり、
これはある非負整数 k が存在して g(x)=x^k であることを意味する。
ゆえに任意の実数yについて f(y)=0 が成り立つ。