>>560
ちょっと不正確だった
まずxが整数の場合にしてn=3くらいの場合
a1=p,a2=q,a3=r (ただしp≧q≧r=0)とでも置いて
数列f(n)が漸化式
f(n+p)+fn+q)+f(n+r)=0
を満たすのだから方程式
x^p + y^q + x^r=0
の解α、β、γを使って
f(n)=uα^n+vβ^n+wγ^n+... (異なるp-r解の時)
または
f(n)=unα^n+vα^n+wγ^n+... (α=βの時)
または
....
とあるけどめんどくさいので最初の場合だけ考える
コレがd=2の場合の漸化式も満たすから
uα^(n+2p)+vβ^(n+2q)+γ^(n+2r)+...=0
がnについて恒等式よりα、β、γは方程式
x^(2p)+x^(2q)+x^(2r)=0
の解でなければならない
この調子でf(n)の表示に出てくるα、β...は方程式
x^(dp)+x^(dq)+x^(dr)=0
全てを満たさなければならない
しかしそれは一の冪根の時しか起こらない
重解があっても同じ議論(x^dnで括った後の議論がやや長くなるだけ)
しかも周期は高々p-rで抑えられるからするなくとも(q-r)!を周期として持つ
結局f(n+a) が全ての(a∈[0,1))で高々周期(p-r)!を持つのだからf(x)も周期関数