面白い問題おしえて〜な 39問目

>>619
LをQ(2,2^(1/2),2^(1/3),...,2^(1/n)のガロア閉包とする
1≦k≦nに対してKをQ(2^(1/k))のガロア閉包とすれば
tr[L/Q](2^(1/k))
= tr[K/Q](tr[L/K](2^(1/k)))
= tr[K/Q]([L:K]2^(1/k))
= 0
よって
tr[L/Q](2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)) = 0
であるが2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)>0により2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)は有理数ではあり得ない