ということで皆さん知っていたかもしれませんが>>954のおったまげた解法です

{R_k}_k を条件を満たす分割とする
R=[a,b]×[c,d]=∪_k [a_k,b_k]×[c_k,d_k]=∪_k R_k
とする

∫_α^β e^(2πix)dx = 0 ⇔ α-β∈Z に注意すれば、

(∫_a^b e^(2πix) dx)* (∫_c^d e^(2πiy) dy)
=∫_R e^(2πi(x+y)) dxdy
=Σ_k ∫_(R_k) e^(2πi(x+y)) dxdy
= Σ_k (∫_(a_k)^(b_k) e^(2πix) dx)* (∫_(c_k)^(d_k) e^(2πiy) dy)
=0
より、
∫_a^b e^(2πix) dx = 0
or
∫_c^d e^(2πix) dx = 0
となり、a-b∈Z or c-d∈Z