定理11
G:群
a,b∈G:個体定項
とする．このとき

ag=b∈G→g=a^{-1}b∈G　☆

となるgが一意的に存在する．

(証明)

(1)　存在すること

g=a^{-1}b∈G　①

と仮定する．このとき等式の性質から①の両辺に左からaを掛けると

ag=aa^{-1}b

i.e.

ag=eb

i.e.

ag=b

を考えることができる．それゆえ→-導入により仮定①が落ちて
☆が成立する．

(2)　gの一意性

写像の一意性を適用して

f(<s,u>)=ag_1 ∧ f(<s,u>)=ag_2
→
ag_1=ag_2　①

を得る．このとき①の両辺に左からa^{-1}を掛けると

a^{-1}ag_1=a^{-1}ag_2　i.e.　g_1=g_2

が成立するので(2)が示された．□

同じ理屈でgは

gb=a→g=ab^{-1}

と書くことにする．