定理2(p.1)

M:加群
f:M→M(全単射)
f(a+b):=c
a+b∈M→f(a+b)=c∈M　①

とする．このとき次が成り立つ:

☆　①の前件を考える

☆　a+b=cとf(a+b)=cが等しいとは必ずしも言えない場合が出てくると考えられる
ので気をつけたい
両者が等しいことを証明する必要がある場合とそうでない場合とを明確にしたい

(1)　-(a+b)=-a-b
(2)　-(a-b)=-a+b

(証明)

(1)　右辺から左辺を示す．

-a-b
=(-a)+(-b)
=(0-a)+(0-b)
=0+(-a)+0+(-b)
=0+0+(-a)+(-b)
=0+(-a)+(-b)
=0+((-a)+(-b))　結合律
=0-(a+b)　　　　a-b:=a+(-b)
=-(a+b)

∴ -a-b=-(a+b)．

(2)　右辺から左辺を示す．

-a+b
=(0-a)+b
=0+(-a)+b
=0+((-a)+b)　結合律
=0-(a-b)　　 a-b:=a+(-b)
=-(a-b)

∴ -a+b=-(a-b)．□

定義2(環)

R:加群(定義1から定理2と補足まで成り立つもの)
f:R→R(全単射)
f(a+b):=c
a+b∈M→f(a+b)=c∈M

とする．このとき次をみたすRを環という．