>>300

ノイマン流の後者関数でなくツェルメロ流？を採用しているんですね。そこは了解しました。

>で、ペアノ公理に戻ると、ペアノ公理では後者関数の自由度がある

まず、あなたがどういう公理系のもとで「無限シングルトン」を定義しようとしているのかはっきりさせましょう。
こう言うと「公理系にはこだわっていない」とおっしゃるかもしれませんが、そうは行きません。
どういう公理系/体系のもとで考えているのか定めずに厳密な定義は不可能だからです。
もしあなたが「無限シングルトンの厳密な定義なんて与えていない。こういうのを考えたいという気持ちを語っているだけだ。」とおっしゃるなら、
無限シングルトンの話は数学の話でなく「プレ数学」の話だった、ということでこの話は終わりでいいのですが…。

結局のところ、あなたは「ペアノ公理系」の上で無限シングルトンを定義しようとしているのでしょうか？
だとしたら、私の知っているペアノ公理系ではf(X)={X}などという演算自体考慮できないと思いますよ。
こういうオブジェクトが考えられるのはZFCなどの集合をオブジェクトとする公理系ですから。