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非標準モデル
<マイクロソフトEdge 翻訳（若干手直し）>
メイン記事:算術の非標準モデル https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_model_of_arithmetic

通常の自然数はPAの公理を満たしますが、他のモデル(非標準モデル??と呼ばれる)もあります。コンパクト性定理は、非標準要素の存在を一階論理で除外できないことを意味します。上向きのレーヴェンハイム-スコレム定理は、すべての無限基数のPAの非標準モデルがあることを示している。これは、元のペアノの公理の(二階) には当てはまりません、同型でモデルが 1 つだけになる。??[18]これは、一階システムPAが、二階ペアノ公理よりも弱いことを示している。

ZFCのような一階集合論の中で証明として解釈される場合、DedekindのPAの分類性証明は、集合理論の各モデルが、集合理論のモデルに含まれる他のすべてのPAモデルの初期セグメントとして埋め込まれるペアノ公理のユニークなモデルを有することを示している。集合理論の標準モデルでは、PAのこの最小のモデルは、PAの標準モデルです。しかし、集合理論の非標準モデルでは、PAの非標準モデルである可能性があります。この状況は、集合理論の最初の順序の形式化では避けられません。

可算非標準モデルを明示的に構築できるかどうかを尋ねるのは当然です。1933年にSkolemがそのような非標準モデルの明示的な構築を提供したので、答えは肯定的です.一方、1959年に証明されたテネンバウムの定理は、加算または乗算操作のいずれかが計算可能であるPAの可算な非標準モデルがないことを示している。[19]この結果は、PAの非標準モデルの追加および乗算操作を完全に明示することは困難であることを示している。可算な非標準モデルの順序タイプは 1 つだけです。ωを自然数の順序タイプにし、ζ整数の順序タイプであり、かつ、ηは、その合理性の順序タイプである場合、PAの非標準モデルの並べ替えタイプはω+ζ・η、自然数のコピーとして視覚化され、その後に整数のコピーの密な線形順序付けが続きます。
以上