Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 63
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640701686/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13

（参考）
https://twitter.com/math_jin
math_jin 出版序文リンク Andrew Putman 2021年3月6日
https://drive.google.com/file/d/1n1XMCNyQxswQGrxPIZnCCMx6wJka0ybh/view

望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り出版されました。また、“Explicit”版が公開され、査読は完了したようです。
IUTの4回の国際会議は無事終わり、Atsushi Shiho (Univ. Tokyo, Japan)先生が、参加したようです。
IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！（＾＾；）

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

>>430 補足

下記の 不等号 発展的な用法で
「a < b < c = d ≦ e < …… のように、4辺以上になったり「≦」や等号が混ざったりしても同様である。「>」「≧」「=」でも同様の表現ができる。」>>431

ここで、”a < b < c = d ≦ e < ……”の部分にご注目
e <の右に具体的な数がなく、……とする記法が許される日本国ですｗ

”「>」「≧」「=」でも同様の表現ができる”とあるよ
日本語分かりますか？

猿魔大王>>432-434
なぜ人間やめて馬と鹿の交雑種と成ったセタ爺は粉飾解釈でゴールポストを動かし続け逃げようとするんでしょうか？

>>446
>ここで、”a < b < c = d ≦ e < ……”の部分にご注目
>e <の右に具体的な数がなく、……とする記法が許される日本国ですｗ
数の記載を省略することと数が無いことの違いは理解できますか？
e <の右に数が無いならそもそも不等号＜が成立しませんよ？
不等号＜は二項関係ですから
理解できますか？

>>446
ということで早く答えて下さいね
＜ωの左隣は何か？

>>442
センズリパトロールご苦労さん

>>445
>？
>降下列と降鎖とを、同じ意味で使っているの？

いや、
「降下列」は有限列
「降鎖」はNでインデクスされた無限列
と使い分けている
無限が理解できないニホンザルの君が区別できないだけ

>…上記の
>ω>0
>ω>1>0
>ω>2>1>0
>…
>ω>n> … >0
>は、全部 降鎖ではないよ！

偶然にも正しいｗ
どれも有限列であってNでインデクスされた無限列ではないから

>ただの列だよ

惜しい！！！
ただの「降下列」と書けば１００点満点だったのに
なんで降下の二文字を削るかな？　🐎🦌なのかな？

>再度問う
何度でも問う
（有限）降下列と降鎖の違いを述べよｗ

ああ、そうそう、SET A君に問題

円x^2+y^2=1の有理点と、
cが有理数の場合の直線y=cxの傾斜角の間に
成り立つ関係を述べよ

（ヒント）もちろん、等しくはない

人間やめて馬と鹿の交雑種に成ったセタ爺は
ωを有限自然数の集合に含む解釈も存在すると言いのけたんだから
世界一画数が多い麺料理の字をω回読み書きしろ

https://www.youtube.com/watch?v=9LxnZIHTSuw

SET A君に問題

円x^2+y^2=1の有理点と、
cが有理数の場合の直線y=cxの傾斜角の間に
成り立つ関係を述べよ

（ヒント）もちろん、等しくはない

作業所がコロナで休みになると精神に変調をきたすa_watcher

清水の舞台から落ちて頭を強か打って自分を天才であり大卒であると思い込み山形の女性の攻撃を受けていると妄想に取り憑かれ匿名掲示板でデタラメを言って気持ち悪がられている便所コオロギの事かな？

SET A君に問題

円x^2+y^2=1の有理点と、
cが有理数の場合の直線y=cxの傾斜角の間に
成り立つ関係を述べよ

（ヒント）もちろん、等しくはない

>>448
>数の記載を省略することと数が無いことの違いは理解できますか？
>e <の右に数が無いならそもそも不等号＜が成立しませんよ？
>不等号＜は二項関係ですから
>理解できますか？

そんな幼稚な思考では、
”上界・下界、上限・下限、上に有界・下に有界 　【数学　解析学】”下記
が理解できないぜ

ま、下記を100回再生して見てねｗ

https://www.youtube.com/watch?v=LFK-B5CBsKM
上界・下界、上限・下限、上に有界・下に有界 　【数学　解析学】
9,120 回視聴2017/09/17

みつのきチャンネル
チャンネル登録者数 7650人

上界・下界、上限・下限、上に有界・下に有界
を図やイメージで説明します。
紛らわしい用語なので動画でまとめてみました。
是非ご参考ください。

チャンネル数学
3 年前
分かりやすかったです！
解析学のみ大学でつまずいていたので助かります！

Sato Kan
7 か月前
素晴らしい、めちゃくちゃわかりやすい、これから長い付き合いになると思います

mariruri RED
3 年前
分かりやす過ぎて泣けた、テストのりきれそうです

>>451
>惜しい！！！
>ただの「降下列」と書けば１００点満点だったのに
>なんで降下の二文字を削るかな？　歷なのかな？

「降下列」の定義を書いてみろよ

そうすれば、降鎖の定義との違い

明確になる

そこで、あんたの間違いがハッキリすると思うぜ

>>458
講釈はいいので＜ωの左隣を答えて下さいって何度言わせるんですか？
答えるか間違いを認めるかどちらかにしてもらえませんか？三歳児じゃないんだから愚図らないでくれます？

>>460
つーｗ

（>>446 再録）
下記の 不等号 発展的な用法で
「a < b < c = d ≦ e < …… のように、4辺以上になったり「≦」や等号が混ざったりしても同様である。「>」「≧」「=」でも同様の表現ができる。」>>431

ここで、”a < b < c = d ≦ e < ……”の部分にご注目
e <の右に具体的な数がなく、……とする記法が許される日本国ですｗ

”「>」「≧」「=」でも同様の表現ができる”とあるよ
日本語分かりますか？
(引用終り)

ｗｗｗ

（>>458 再録）
そんな幼稚な思考では、
”上界・下界、上限・下限、上に有界・下に有界 　【数学　解析学】”下記
が理解できないぜ

ま、下記を100回再生して見てねｗ

https://www.youtube.com/watch?v=LFK-B5CBsKM
上界・下界、上限・下限、上に有界・下に有界 　【数学　解析学】
(引用終り)

ｗｗｗ

>>461
いつになったら＜ωの左隣を答えるんですか？
なんで逃げ続けるんですか？

>>461
おいゴミ早くしろ

おやおや、馴れ寿司SET Aは、>>457も解けないのかい？
じゃ、半分だけ教えてやるよ

(1)任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
　その傾斜角の二倍の角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点

1+ciを考える　
その共役1-ciは1+ciと同じ絶対値、同じ角度で回転方向が逆　したがって
(1+ci)/(1-ci)=((1-c^2)+2ci)/(1+c^2)
は1+ciの二倍の角度をもち、絶対値１となる　ゆえに
((1-c^2)/(1+c^2),2c/(1+c^2))
は円x^2+y^2=1の有理点

さて、(1)の逆、(2)は成り立つかな？
(1)円x^2+y^2=1の有理点(a,b)について
　その角度の半分の傾斜角をもつ直線y=cxの係数cは必ず有理数

>>464
>任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
>その傾斜角の二倍の角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点
そもそも、示そうとする結論が間違っているけどな。正しくは
>或る無理数cを係数とする直線y=cxが存在して
>その傾斜角の二倍の角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点となる
のような結論になる

>>425
自殺が美しいだコラ？投身自殺で脳漿をブチ撒けた死体の何が美しいんだコラ？

>>461
こら早くしろ、『<…<』で紛らわせて誤魔化せると思うなよって何度言わせるんだ？漢字が読めないのか？死んでるのか？
『…』のどこに左隣が記されてるんだコラ？外延だの内包だの言ってんじゃねぇよ現物持って来いよオイ早くしろオイ

間違いを認められない三歳児ですから

>>466
>そもそも、示そうとする結論が間違っているけどな。正しくは
>「或る ”無理数c” を係数とする直線y=cxが存在して
>　その傾斜角の二倍の角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点となる」
>のような結論になる

hRb0GeyT さん、>>464-465 読みました？
理解できませんでした？
どこがどう理解できませんでした？

読んで理解できたなら、
あなたの考えが全く間違ってることが
瞬時に即座にわかるはずですが？

ニホンザルSET Aと全く同類の中卒？

>>466
>任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
>その傾斜角の二倍の角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点

これは完全に正しいよ。
「有理数c」を「無理数c」に変えるとそれこそナンセンスな主張になる。
こんな数学センスのない酷い間違いをするのは
昔いた「おっちゃん」という脳みそ腐ったやつレベルだ。

円周上の有理点は、一般に
(x,y)=( (1-t^2)/(1+t^2),　2t/(1+t^2))
とパラメータ表示される。tは任意の有理数。
これはピタゴラス方程式の一般解のパラメータ表示と等価。
一方で、直線と円の交点の座標(x,y)に対して
(x,y)=(cosθ,sinθ)とおくと、c=y/x=tanθ.
tanθ=ｔとおくと倍角の公式
tan 2θ=2t/(1-t^2) が成立するから
これを先のパラメータ表示と比較してみれば分かる。

*単位*円周上

>>470-471
>任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
>その傾斜角の二倍の角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点
これが正しかったら、1は有理数なので、c=1のときも正しくなる
そして、(cos(1)、sin(1))が有理点になる
だが、ゲルフォント・シュナイダーの定理よりcos(1)、sin(1)は超越数だから、(cos(1)、sin(1))は有理点ではない
このように反例があるから、上の命題は偽になる
おっちゃんの研究の範疇

つーｗ
なんだ？ IUTアンチって、三歳児のチンパンジー並みか？
せめて、5歳のチコちゃん並みになってから、数学板に来てねｗｗｗ

（>>446 再録）
下記の 不等号 発展的な用法で
「a < b < c = d ≦ e < …… のように、4辺以上になったり「≦」や等号が混ざったりしても同様である。「>」「≧」「=」でも同様の表現ができる。」>>431

ここで、”a < b < c = d ≦ e < ……”の部分にご注目
e <の右に具体的な数がなく、……とする記法が許される日本国ですｗ

”「>」「≧」「=」でも同様の表現ができる”とあるよ
日本語分かりますか？
(引用終り)

ｗｗｗ

（>>458 再録）
そんな幼稚な思考では、
”上界・下界、上限・下限、上に有界・下に有界 　【数学　解析学】”下記
が理解できないぜ

ま、下記を100回再生して見てねｗ

https://www.youtube.com/watch?v=LFK-B5CBsKM
上界・下界、上限・下限、上に有界・下に有界 　【数学　解析学】
(引用終り)

ｗｗｗ

>>470-471

>>474の
>そして、(cos(1)、sin(1))が有理点になる
>だが、ゲルフォント・シュナイダーの定理よりcos(1)、sin(1)は超越数だから、(cos(1)、sin(1))は有理点ではない
ここは
>そして、(1/√2、1/√2)が有理点になる
>だが、√2は無理数だから、(1/√2、1/√2)は有理点ではない
の間違い

>>470-471
>これが正しかったら、1は有理数なので、c=1のときも正しくなる
ここは
>これが正しかったら、1/2は有理数なので、c=1/2のときも正しくなる
の間違い。
c=1/2とすると、傾斜角は1の直線y=xと円x^2+y^2=1の交点のことを考えればよくなる

>>475
もしもしー
日本語読めますかー？
＜ωの左隣を聞いてるんですよー
間違いを認めたくないからって白痴のフリするのはやめてもらっていいですかー　え？素で白痴？

「任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
　その傾斜角の二倍の角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点」
>>474　>>476
>これが正しかったら、
>1は有理数なので、c=1のときも正しくなる
>そして、(1/√2、1/√2)が有理点になる

はい、hRb0GeyT、
「任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
　その傾斜角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点」
と読み間違ったね

でも、正しくは
「任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
　その傾斜角　【の二倍の角】　を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点」

だからｃ＝１の場合、その傾斜角の２倍の角を持つ直線はｘ＝０
そしてそれと円の交差点は（０，１）だから有理点

I have a win!!!

>>477
>c=1/2とすると、傾斜角は1の直線y=xと
>円x^2+y^2=1の交点のことを考えればよくなる

はい、hRb0GeyT、倍角の計算の誤り

(1,1/2)の２倍の偏角を持つのは
　(1,2*(1/2)/(1-(1/2)^2))
=(1,1/(3/4))
=(1,4/3)

(1,1)ではありませぇぇぇぇん！（オトナげない）

結論
・中卒ニホンザルSET Aは>>457に手も足も出ず完敗
　悪いけど、こんな高校程度の数学で解ける問題も解けないサルが
　楕円曲線の有理点とか語るなんて
　１００年、１０００年どころか１００００年早いからｗ
・hRb0GeyT氏 がどういう人か存じ上げませんが
　そもそも問題の短文すら落ち着いて読めてないので
　数学書は一ページも読めないだろうと思います
　精神的な問題によるのであれば治療を薦めます

>>475
早くしろ此の人間やめた馬と鹿の交雑種｡
「…」なんて無限に多くの混ざり物した答えしないで「ωの『左“隣”』『ただ一つ』」を答えろや､
此の有限と無限の括りも区別が付かない「ミソもクソも一緒」野郎が｡
テメェがやってんのは『河豚の“刺身”』の要求に対して『“未調理”の河豚』差し出してんのと変わんねーぞ､
テメェは客に河豚毒に中らせてぇのかコラ？あ？

>>479-480
>「任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
>　その傾斜角　【の二倍の角】　を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点」
>
>だからｃ＝１の場合、その傾斜角の２倍の角を持つ直線はｘ＝０
>そしてそれと円の交差点は（０，１）だから有理点
有理数全体Qは実直線R上で体をなすから、私の趣旨全体には何の効力もない

>>479-480

>>485の訂正：実直線R上→実数直線R上

おっちゃん本当に頭悪いな。
>(cos(1)、sin(1))
とか書いてるけど、誰もθが有理数なんて言ってない。
θというのは、単位円における「弧の長さ」だよ。
分かってますか？
「弧の長さが有理数のとき」なんて言ってない。
c=y/x=tanθが有理数のとき と言っている。
そのとき、(x,y)=(cos2θ,sin2θ)が
x^2+y^2=1の有理数解（但し(x,y)=(0,1)を除く）
と1対1対応しているという話。

>>487
普通、c=y/x=tanθのことを傾斜角とはいわない
普通、c=y/x=tanθは、実変数θの実関数c=tanθの値という
このとき、実変数θが角の変数になっている

訂正
但し(x,y)=(0,±1)を除く

>>488
「傾斜角が有理数」なんて言ってないでしょ。
直線y=cxのcが有理数と言ってるよ。
c≠傾斜角

>>490
それじゃ、>>479-480がいう傾斜角とは何の角のことを指している？
傾斜角というからには何らかの角を指しているのだろう

ま、直線と円の交点は２つあるから、1対2対応と言った方がいいかも。

θが0≦θ<πと動くとき、2θがぴったり0≦2θ<2π を動くわけで
話としては合っている。

1対1対応と言うなら、「半直線」とするべきですね。

>>491
傾斜角というのは、c=y/x=tanθのときの、θのことに決まってるじゃん。

じっちゃんといいセタ爺といい何で無恥なんだ

>>493
それだと、>>487で
>c=y/x=tanθが有理数のとき と言っている。
と書いているから、そのθは傾斜角だな

>>492
何言ってるんだ。大間違い。
1対1対応でいいですね。
交点は2つあるが、偏角の差がπだから
2倍すると円周上では同じ点になる。

>>488
>普通、c=y/x=tanθのことを傾斜角とはいわない

>>457では、cが傾斜角だとは言ってない
”cが有理数の場合”の”直線y=cxの傾斜角”といっている。

>>490のいう通り、直線y=cxの傾斜角θは、c=tanθとは異なる

>>491
>　>>479-480がいう傾斜角とは何の角のことを指している？
>>493
>　傾斜角というのは、c=y/x=tanθのときの、θのことに決まってるじゃん。

493の通りです　高校で習う角度を理解していればわかること

>>495
つまり円の有理点(a,b)と原点を結ぶ直線の傾きをd=b/aとするとき
dはもちろん有理数であるが、それだけではなく
d=2c/(1-c^2)
となるような有理数cが存在する、ということ

逆に任意の有理数cについて
d=2c/(1-c^2)　を計算すれば
y=dxと円x^2+y^2=1の交点は有理点

dx^2+2x-d=0 の解

x=-2±√(4+4d^2)/2d

つまり√(4+4d)=2√(1+d^2)が有理数になる場合
d=b/aとすると　(a^2+b^2)/a^2が有理数になる場合
…これじゃ意味ないなｗ

>>475
オラどうした早くしろ此の人間やめた馬と鹿の交雑種｡
早く「…」なんて無限に多くの混ざり物から答えである「ωの『左“隣”』『ただ一つ』」を答えろや､
此の有限と無限の括りも区別が付かない「ミソもクソも一緒」野郎が｡
『河豚の“刺身”』の要求に対して『“未調理”の河豚』差し出す様な毒まみれ糞まみれ回答をいい加減にやめろや｡
やっぱりテメェは客に河豚毒に中らせてぇのかコラ？あ？

>>500の修正

dx^2+2x-d=0 の解

x=-2±√(4+4d^2)/2d

つまり√(4+4d^2)=2√(1+d^2)が有理数になる場合
d=b/aとすると　(a^2+b^2)/a^2が有理数になる場合

自明といえば自明だが、意味ない、とまではいえないかｗ

つーｗ
なんだ？ IUTアンチって、三歳児のチンパンジー並みか？
せめて、5歳のチコちゃん並みになってから、数学板に来てねｗｗｗ

「不等号は2項関係」だが、推移律から有限集合に拡張され、また、無限集合にも拡張される
その拡張により、”a < b < c = d ≦ e < ……”のように使われるだけのこと。三歳児には難しいだろうな
”2項関係なのに、なんで「e < ……」？”か。5歳になったら分かるよ

（>>446 再録）
下記の 不等号 発展的な用法で
「a < b < c = d ≦ e < …… のように、4辺以上になったり「≦」や等号が混ざったりしても同様である。「>」「≧」「=」でも同様の表現ができる。」>>431

ここで、”a < b < c = d ≦ e < ……”の部分にご注目
e <の右に具体的な数がなく、……とする記法が許される日本国ですｗ

”「>」「≧」「=」でも同様の表現ができる”とあるよ
日本語分かりますか？
(引用終り)

ｗｗｗ

（>>458 再録）
そんな幼稚な思考では、
”上界・下界、上限・下限、上に有界・下に有界 　【数学　解析学】”下記
が理解できないぜ

ま、下記を100回再生して見てねｗ

https://www.youtube.com/watch?v=LFK-B5CBsKM
上界・下界、上限・下限、上に有界・下に有界 　【数学　解析学】
(引用終り)

ｗｗｗ

>>503
また文盲か
君は数学の前に小学校の読み書きからね
聞いてるのは＜ωの左隣だから

間違いを認めることができなくて文盲のフリをしてるのか
素で文盲なのか
まあ後者かな？頭悪そうだし

>>503
だぁーから言ってんだろボケ
その拡張は過剰だって、拡大解釈も拡大解釈、過拡大解釈だっての
「ωの『左“隣”』『ただ“一つ”』」を示せや此の人間やめた馬と鹿の交雑種が｡
『“…”の内の“どれか”』なんて解答が許されると思ってんじゃねぇよ此のゴールポスト拡大許容強制野郎が｡

>>503
高校生でもわかる>>457の問題に手も足も出ずダンマリの
中卒ニホンザルSET Aは永遠に黙るがよろし

質問ｻﾏのｽﾙﾙｪ凍ﾗｾﾁｬｨﾏｼﾀ!
僕ｶﾞｽﾍﾞｯﾁｬｨﾏｼﾀ!

…ｺｯﾁゎ混ﾝﾃﾞﾃ楽ｼｿｩ…
楽ｼｿｩﾁﾞｬﾅｨ?(嵐の心理)

…

|ｧﾋｨﾝ!
|=₃

>>503
>「不等号は2項関係」だが、推移律から有限集合に拡張され、また、無限集合にも拡張される
>その拡張により、”a < b < c = d ≦ e < ……”のように使われるだけのこと。三歳児には難しいだろうな
推移律を理由に＜ωの左隣が無くてもいいと言いたいの？
はい、大間違いです。
集合Ｘ上の二項関係＜が推移律を満たすとは (∀a∈Ｘ)(∀ｂ∈Ｘ)(∀c∈Ｘ)((a<b ∧ b<c) ⇒ a<c) が成立することであって、
どこにも x<y のxが無くてもよいなんて書かれてませんよ？xが無ければ推移律以前にそもそも二項関係の定義を満たしません。

推移律があと言うなら推移律の定義くらい確認しなさいよ。あなた三歳児？

🌈ﾓｯﾁｬﾏさまのNHK特集
楽しみにしてます!　
観たいです!

|…ｧｯ!…
|　…ｺﾞﾒﾝﾅｻｨ…
| ｻｮﾅﾗ!²
|=₃

>>411 追加
(引用開始)
松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968）
このP105 問題の2に
昇鎖の定義がある
順序集合Aの要素からなる列 (an)n∈N（＝自然数）で、a1<a2<・・<an<・・
となるものを昇鎖という
降鎖は、この列の不等号が逆で、a1>a2>・・>an>・・
これ以外に、単なる列がある
この3つの差
(引用終り)

答えを書く

A）松坂和夫の昇鎖の定義を分解すると、1）順序集合A、2)Aの部分集合の要素 (an)n∈N（＝自然数）、3)全順序列 a1<a2<・・<an<・・
　の3つの要素がある（順序の ”<” は、大前提とする）
B)降鎖も同様に、3つの要素があり、全順序列 a1>a2>・・>an>・・ となる点のみが、昇鎖と異なる
C)単なる列は、要素は1つで、列のみ。例えば、・・・,n1,n2,・・・,z1,z2,・・,q1,q2,・・・・,r1,r2,・・ （これは、数直線Rからランダムに数を選んで並べた列で、大小はランダム。列長さは連続濃度まで可）

分かるかな？
・A）B)には、始点のa1がある。列の長さのMaxは、N（＝自然数）で制限される
・対してC)は、数直線Rからランダムに数を選ぶとして、半開区間(0,1}で、1/n n∈N で列を作れば、・・1/n・・,1/2,1 の列ができる
　半開区間(1,2}で、1+1/n n∈N で列を作れば、・・1+1/n・・,1+1/2,1+1=2 の列ができる
　二つの列を直列すれば、・・1/n・・,1/2,1,・・1+1/n・・,1+1/2,1+1=2 となる列ができる
　列の長さは、2ωになる。全順序の増加列だが、 定義(an)n∈Nから外れるので、松坂和夫の昇鎖の定義から外れる
　が、・・<1/n<・・<1/2<1<・・<1+1/n<・・<1+1/2<1+1=2 と書いても間違いではない！ｗｗ

t=tanθとおくと、倍角の公式
cos2θ=(1-t^2)/(1+t^2), sin2θ=2t/(1+t^2)
が成立する。
tが有理数∪{∞}のとき
(x,y)=(cos2θ,sin2θ)が単位円周上の
有理点であることは見易い。

t=sin2θ/(cos2θ+1) だから、(x,y)=(cos2θ,sin2θ)
が有理点であれば、有理数∪{∞}なるtが逆に得られる。

t=∞に対応する有理点は(x,y)=(-1,0).
したがって、これを除けば、有理数なるtと
円周上の有理点が1対1対応する。

有理点がこれらで「尽くされる」ことの証明は
もっと込み入っているのかと漠然と思ってましたが
有理パラメータ表示からそのまま得られるんですね。
より難しい問題の場合は、「無限降下法」などの
数論的な技法が必要になるはず。

もっと難しい問題の場合はWilesとTaylorが必要であった。

>>513
>松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968）
>P105 問題の2

これ、綺麗に解説している人が居る
必要十分の証明で、前半が背理法、後半が（対偶）なんやね。松坂の巻末に略解があり、同じことを書いているが、下記は丁寧で分かり易い。お見事です

http://sskmathematics.kilo.jp/blog/
佐々木数学塾
松坂先生の集合・位相入門
2021年9月28日

「存在することを示せ」と言われたら（その２）
（★P105問題2 ）
順序集合Aの元の列(an)n∈Nで，a1<a2<…<an<…となるものをAにおける昇鎖という．これと相対的にAにおける降鎖が定義される．
Aが全順序集合であるとき，Aが整列集合であるための必要十分条件は，Aにおいて降鎖が存在しないことであることを示せ．

存在を追え！

証明
（⇒）
Aが整列集合で，Aにおいて降鎖が存在すると仮定する．このとき，Aの元の列(an)n∈Nで，
a1>a2>…>an>…
となるものが存在するが，{an}n∈Nには最小元が存在せず，矛盾である．

（←）
Aが整列集合でないならばAにおいて降鎖が存在することを示す（対偶）．
仮定により，Aは整列集合でないから

¬(Aが整列集合)
　↓↑
¬(空でない任意の部分集合が最小元をもつ)
　↓↑
¬(M≠Φ,M⊂A⇒Mは最小元をもつ)
　↓↑
∃M[M≠Φ,M⊂A,Mは最小元をもたない…(*)]

¬(Mが最小元をもつ)
　↓↑
¬(∃a∈M∀x∈M[a?x])
　↓↑
∀a∈M∃x∈M[x<a]…(**)

したがって(*)を満たすMが存在する．このMの任意の元aに対して，(**)により，x<aとなるx∈Mが存在する．
そこで，Mの元を任意に1つとり（これをa1とおく），それに応じて定まる（x<a1を満たす）x∈Mをa2とおくと
a2<a1
となる．さらにこのa2∈Mに対して，再び(**)により，上と同様にx<a2となるx∈Mが存在する．これをa3とおけば，
a3<a2
が成り立つ．これを繰り返してAの元の列(an)n∈Nを定めれば，これが示すべきものとなる．

証明終
(引用終り)
以上

>>517 補足

・自然数N 自身は、全順序にして、整列集合でもある
・直感的な理解として、
　降鎖 (an)n∈Nで，a1>a2>…>an>… を、A＝N中で作ろうとすると、始点のa1を決める必要がある
　a1＝m m∈Nとすると、mは有限であるから、Nの最小値1との間では、有限の降下列しか出来ない （注：最小値0としても同じこと）
　よって、N中の降鎖は有限長である
　（数学の証明は、>>517の通り）

>>513
>・対してC)は、数直線Rからランダムに数を選ぶとして、半開区間(0,1}で、1/n n∈N で列を作れば、・・1/n・・,1/2,1 の列ができる
何それｗ　初項は何？

>　半開区間(1,2}で、1+1/n n∈N で列を作れば、・・1+1/n・・,1+1/2,1+1=2 の列ができる
何それｗ　初項は何？

>　二つの列を直列すれば、・・1/n・・,1/2,1,・・1+1/n・・,1+1/2,1+1=2 となる列ができる
何それｗ　初項は何？　1の次の項は何？

また逃亡するの？勝手に妄想垂れ流しといて回答に困ると逃亡？「＜ωの左隣」や「…{{}}…の元」から逃亡したように？

>>513
列の定義くらい確認しなさいよ。
実数列sとは写像s:N→Ｒに他ならない。
∀n∈Ｎについて写像先のＲの元が定まっている必要がある。中学で教わったよね？写像。
初項が存在しなければ写像でない。つまり列でない。

君は中学からやり直しなさい。

一方で最終項は無くて良い。定義域であるＮに最大自然数が無いから。

定義を確認することもできない三歳児に数学は無理なので諦めましょう。

圏相対はしょせん多面体相対だわ

>>503
全く以て混ざり物まみれの回答｡
また、それに先駆けて「N=1〜∞だから∞も含むよ。数列でもk=1〜∞と書くよね。」という有限と無限を一緒くたにする回答｡

そういう混ざり物だらけ十把一絡げ回答しかしねぇなら此れから､
混ざり物まみれで良いお前は河豚は毒まみれで食うし、米も糠まみれ殻まみれで食うし､
有限も無限も一緒で良いお前はクソもミソも一緒でミソ汁に代わりクソ汁を飲む｡

お前のやってんの、そういう回答だからね。なぁーにが「それが多様性を重んじる21世紀の数学だよ。」だ、この人間やめた馬と鹿の交雑種が｡

ライフスペースの高橋弘二みたいな奴だな、セタ爺は。ミソとクソも一緒、生者と死者も一緒｡
その内、お前も蛆が涌いた死体を見て「目を覚ました、体を乗り換えて目を覚ました」とか言い出すんだろうな｡
常人はそんな見境無い事に成らねぇ様に区別付けるが、お前はその区別をむしろ積極的に有耶無耶にした｡
やっぱり河豚は毒ごと、米は糠ごと殻ごと、ミソをクソで代用する食事をして見せなきゃいけねーな、お前は｡
して見せねぇなら、此処最近のお前の混ざり物まみれの回答、有限無限一緒くた回答、帰納法誤用回答は
一切合財がペテン回答という事にしか成らない。さぁ、どうする？どうするよ？どうするんだよ､
この人間やめた馬と鹿の交雑種よ？

>>503
おー早くしろよ。ミソとクソも一緒なお前はミソの代用にクソを使った料理として
ミソ汁ならぬクソ汁を飲むだけじゃなく、胡瓜のミソ漬けならぬ胡瓜のクソ漬けも食って見せなきゃならんぞ

はーい、河豚毒中り確定、糞毒病確定、ご苦労さぁーん。やっとけよぉー。今さら逃げんじゃねぇーぞぉー｡

ここまで言われて、まだ>>503みたいな回答して来たら、もうセタ爺は人間やめた馬と鹿の交雑種でさえないな､
人間やめた馬と鹿の交雑ゾンビだな。有限と無限の区別も、ミソとクソの区別も、生と死の区別も付かねぇんだから｡

>>514
>t=sin2θ/(cos2θ+1) だから、
>(x,y)=(cos2θ,sin2θ)が有理点であれば、
>有理数∪{∞}なるtが逆に得られる。

そうね
実は原点じゃなく(-1,0)と円周の点をつないだ直線の
傾斜の係数（注：角度に非ず）が有理数であるとき
その時に限り、当該の円周の点が有理点となる

・・・とかいうことがシルヴァーマンの
「はじめての数論」に書いてあった・・・

>>515
>有理点がこれらで「尽くされる」ことの証明は
>もっと込み入っているのかと漠然と思ってましたが
>有理パラメータ表示からそのまま得られるんですね。
　そうですね　この程度なら高校生でもわかる筈ですね
（自分は大学卒業してから気づいたけどｗ）
　入試で、そういう問題って出たことないんですかね？

>>527 補足

スレ主です
選択公理と同値な[ツェルメロの整列可能性定理]によって、任意の集合E上に整列順序が存在する（下記）
整列可能性定理の示すところ、任意の（お好みの）順序で、任意の集合E上に整列順序を構築できる
例えば、実数Rで、好きなr1を取る。残りの集合R＼r1に対して、好きなr2を取る。繰り返すと
抽象的な整列順序列 r1,r2,・・ができる

それ以外の列も可能
例えば、下記の整列集合wikipediaの例と反例をご参照

初項r1が欲しければ、
上記の通り、先にr1を取り出して、後はr1抜きの部分集合で列を考えれば良いだけのこと

逆に、自然数Nとωを加えたN*=N∪{ω}は、整列集合で
1,2,・・,ωとできる。この順序は、通常の不等号<と考えてよいから
1<2<・・<ωとできる。整列可能性定理、即ち選択公理を認めるならば（*）、この順序列の存在は否定できない
(つまり>>7は否定される)
（ *）選択公理は、必要ないと思うが、分かり易く表現した）

（参考）
http://ysserve.wakasato.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node16.html
整列可能定理
[ツェルメロの整列可能性定理] 　任意の集合E上に整列順序が存在する。
以下に証明を述べます
略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。

例と反例
自然数の全体 N
（0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ≦ が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。さらに、0 でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。

つづく

>>528
つづき

N における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序
0, 2, 4, 6, 8, …, 1, 3, 5, 7, 9, …
が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。

整数の全体 Z
自然数の全体に通常の大小関係を考えたものとは異なり、整数全体の成す集合 Z に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列集合ではない。たとえば、負の整数全体の成す集合には最小元が存在しない。

次のような二項関係 R を考えれば、Z を整列集合にすることができる。
ふたつの整数 x, y に対して、xRy となるための必要十分条件は
x = 0;
x が正で y が負;
x, y がともに正で、x ≦ y;
x, y がともに負で |x| ≦ |y|
のうちのいずれか一つが成立することと定める。この関係 R は要するに
0, 1, 2, 3, 4, …, -1, -2, -3, …
となる順序として表すことができる。この整列順序 R に関する整列集合 Z の順序型は順序数 ω + ω に順序同型である。

Z の別な整列順序の例としては、x ≦Z y ⇔ |x| < |y| または [|x| = |y| かつ x ≦ y] として定まる順序 ≦Z が挙げられる。図示すれば
0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, …
である。これは ω を順序型とする整列順序である。

つづく

>>529
つづき

実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。

一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。

R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。
可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。
(引用終り)
以上

キチガイしかいないね

>>528
>スレ主です
デロデロに溶けまくった馴れ寿司だろｗ

>1<2<・・<ωとできる。
>この順序列の存在は否定できない

だれも否定してないが？

一方
ω>…>2>1
なる降下列は皆有限列

なぜならω>xなるxは、皆自然数だから

x<λなる任意のxから0への降下列が皆有限長なら
λから0への降下列も有限長　これが超限帰納法

可算だろうが非可算だろうが
いかなる無限順序数から0への降下列も有限長
これ知らん奴は集合論の初歩も分からん🐎🦌な

>>532
どうもです。スレ主です

＞> 1<2<・・<ωとできる。
＞>この順序列の存在は否定できない
＞だれも否定してないが？

なに食言してんだ？　おサルさんよ！>>7

（>>7より）
　”（スレ55 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623558298/158より）
　＜上昇列　０＜・・・＜ω　が有限列にしかなり得ない
　ことも分からん「考えなしの素人」に数学はムリ”
などという
　これじゃ。三歳児レベルの知能じゃんかｗ
　このおサルには、IUTは百年早いぜｗ（＾＾；
(引用終り) 以上

>>533
>スレ主です
デロデロに溶けまくった馴れ寿司だろｗ

>なに食言してんだ？
なに最近覚えた言葉得意になって繰り返してんだ　ニホンザルｗ

>　＜上昇列　０＜・・・＜ω　が有限列にしかなり得ない

０＜・・・ωなら無限列になる
０＜・・・ｘ＜ωなら有限列しかない

違いが分からん、中卒ニホンザルｗｗｗｗｗｗｗ

>>527
あぁー…人間をやめ、馬と鹿の交雑種もやめ、便所虫もやめ、とうとう便食虫に成り果てたか…

正に　腐　り　寿　司　食　い　だな、お前は。カビまみれ寿司食いだな、お前は｡

SET Aは馴れ寿司の中の乳酸菌🦠

https://hyoki.jp/blog_akasaka/%E9%B0%AF%E3%81%AE%E3%81%AA%E3%82%8C%E3%81%9A%E3%81%97%E3%81%AE%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%84%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6/
「なれずしの正確な起源ははっきりしていませんが、
　滋賀県の琵琶湖周辺あたりの地域で
　家庭料理として代々受け継がれてきたもの
　だとも言われています。」

SET A、滋賀作だったか

>>517 補足
>これ、綺麗に解説している人が居る
>必要十分の証明で、前半が背理法、後半が（対偶）なんやね。松坂の巻末に略解があり、同じことを書いているが、下記は丁寧で分かり易い。お見事です

松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968） 第三章
P105 問題の2 の巻末
P307 略解 より
2. Aに降鎖(an) n∈N が存在すれば，｛an}n∈N は最小元を持たないから、Aは整列集合でない。
逆に、Aが整列集合でなければ、Aの空でない部分集合Mで最小元をもたないものが存在する，
そのとき、任意のa∈Mに対し、Ma={x|x∈M,x<a}≠Φ（空集合でない）。
よって、Mで定義された写像φで、すべてのa∈Mに対しφ(a)∈Maとなるものがある。
そこで,Mの元a1を任意に1つとり、φ(a1)＝a2,・・・,φ(an-1)＝an,・・・として(an) n∈N
を定めれば，これはAの降鎖となる．
QED (引用終り)

ここ、佐々木数学塾の先生の証明>>517は、きちんと、前半が背理法、後半が対偶証明と、誘導を付けてくれているから分かり易い
上記の松坂の巻末略解を読んで、すーと分かる人は、相当レベル高いだろう
「Mで定義された写像φで」などと 出てくるのだが、
ここ ”§3 Zornの補題、整列定理”の問題なので、この問題の前に類似の考えが出ているのでしょうね、きっと（私は見てないがｗ）

望月IUTの証明も、これかなと思う
論文だから、ページ数を減らすべく できるだけ 簡素に圧縮して書いてあるのだろう
だから、誘導などもあまりないだろうから、遠アーベル専門外の人には、読みにくいのでしょうね

ここら、望月IUTの証明のポケットガイドブック（観光案内みたいな）がいると思う
あまり細かいと、ダメ
大まかな ポケットガイドブックで、それを参照しながら、IUT論文を読むようなものがね

>>503
おーそこの人間をやめ馬と鹿の交雑種もやめ便所虫もやめ便食虫に成ったセタ爺、まだか？
何なんだよ『…』なんて多候補提示回答は？そんなんじゃ全然、『解答』に成ってねぇじゃねぇか、未解決じゃねぇか｡

お前、知ってるよな、持ってるよな？秋山仁の著作『皆殺しの數学』。あれに書いてあっただろうが｡
AT&Tベル研究所が提起した『2×1000の長方形の中に直径1の円は幾つ入るか』と言う問題が
『2011個か2012個かの何れか一方と迄は分かってるが其の後の2候補の内のどちらかはまだ分かっていない』って｡
其の最後の2候補の内のどちらか分からない時点で未解決の扱いなんだよ｡
当然『…』なんて不特定多数もじゃ『解答』に成ってないんだよ､
『“解”決“答”案』に成ってない『“未”“解”決“答”案』じゃねぇか｡
（↑流石に此処まで字を細分化してやれば分かるだろ。分からなかったら、お前は国語から勉強し直し)
況してや『…』じゃ絞り込めてないどころか『不特定“無限”多数』解じゃねぇか｡

やっぱり、お前は『多様性』と言う言葉を悪用し過ぎだわ｡

セタ爺が、ちょくちょく、都合良く重用絶賛したり、都合良く唾棄非難するYahoo!知恵袋より

超現実数って何でしょうか？小説に出てきたのですが、よく分かりませんでした。 - Yahoo!知恵袋
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13145155618

> 二進法的に帰納的に空集合からスタートしてすべての実数やすべての超限順序数を含む無限大とか無限小などを含み、集合の枠に収まりきれないプロパークラスをなすものです｡
> 感覚的には 0.000...≠0 で、したがって二進法的な表現では 0.111...≠1 になるような数0.111...が存在します。また、順序数としては定義されないω-1や1/ωに相当するものもあり､
> 順序数と違いω+1=1+ωなども成り立ちます。 このような無限大無限小も含む実数の拡張が簡単で自然に行うことができ、そこで実数での演算がそのまま成り立つような演算が
> 定義できるため、面白い対象だと思います。 詳しくは知りませんが、囲碁のヨセなどゲームの解析に応用もされているらしく、使い道があるのも驚きですね。 クヌースが超現実数を
> 小説で説明した本が大昔出ていて、その後再翻訳されたのが柏書房から「至福の超現実数」というタイトルで出版されました。今は両方古書でしか買えないようですが
> (新しい方があのネット通販だと定価の倍以上の値がついてました)、置いてある図書館はそれなりにあると思います｡

> また、順序数としては定義されないω-1や1/ωに相当するものもあり、順序数と違いω+1=1+ωなども成り立ちます｡

はい。セタ爺は今回のYahoo!知恵袋の回答は都合悪いので、きっと重用絶賛せず唾棄非難するでしょう｡
しかし、そんなもんは『此の世で空前絶後・唯一無二のセタ爺だけの数学妄想』にしか成らないけどねぇ〜｡

ちなみに

> 0.000...≠0 で、したがって二進法的な表現では 0.111...≠1 になるような数0.111...が存在します｡

此れは、正確には、『超現実数』は『超現実数』でも、『無限二色ハッケンブッシュゲーム』を『数表示』した段階であり
コンウェイは此処から更に『体』として完備になる様に性質を補完して『超現実数体』を構成している｡
『体』と成った後者も、『体』と成る前の前者も、『超現実数』と呼ばれる｡
（どこかの誰かに後者の『超現実数体』だけでなく前者の『超現実数』にも
区別が付き尚且つ意味を上手く表す一文字二文字を付け足して欲しいものだ)

>>517
>Mの元を任意に1つとり（これをa1とおく），
>それに応じて定まる（x<a1を満たす）x∈Mをa2とおくとa2<a1となる．
>さらにこのa2∈Mに対して，
>上と同様にx<a2となるx∈Mが存在する．
>これをa3とおけば，a3<a2が成り立つ．
>これを繰り返してAの元の列(an)n∈Nを定めれば，
>これが示すべきものとなる

中卒の滋賀の馴れ寿司には分からんらしいが
選択公理を理解していれば、上記で選択公理を使っているとわかる

具体的にはＭの任意の元aについて
Ma={x∈M|x<a}となる空でない集合が存在するから
選択公理により、aからMaのある元を選択する関数φが存在する
だからｍ＞φ(ｍ)＞φ(φ(m))＞φ(φ(φ(m)))>…という無限列が構成できる

このくらい速攻三秒で理解できないなら数学板に書くな　いや数学板読むな

だいたい、高校レベルの>>457の円の有理点問題にもダンマリだし
中卒の滋賀の馴れ寿司にはIUTどころか、ピタゴラス数すら理解できないんだよｗｗｗ

繰り返し
> AT&Tベル研究所が提起した『2×1000の長方形の中に直径1の円は幾つ入るか』と言う問題が
> 『2011個か2012個かの何れか一方と迄は分かってるが其の後の2候補の内のどちらかはまだ分かっていない』って｡
> 其の最後の2候補の内のどちらか分からない時点で未解決の扱いなんだよ｡

此れは、便所虫セタ爺が言ってた『多様性を重んじる21世紀の数学』でも変わりゃしねぇよ此のボケ｡