おやおや、馴れ寿司SET Aは、>>457も解けないのかい？
じゃ、半分だけ教えてやるよ

(1)任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
　その傾斜角の二倍の角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点

1+ciを考える　
その共役1-ciは1+ciと同じ絶対値、同じ角度で回転方向が逆　したがって
(1+ci)/(1-ci)=((1-c^2)+2ci)/(1+c^2)
は1+ciの二倍の角度をもち、絶対値１となる　ゆえに
((1-c^2)/(1+c^2),2c/(1+c^2))
は円x^2+y^2=1の有理点

さて、(1)の逆、(2)は成り立つかな？
(1)円x^2+y^2=1の有理点(a,b)について
　その角度の半分の傾斜角をもつ直線y=cxの係数cは必ず有理数