>>513 補足
(引用開始)
松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968）
このP105 問題の2に
昇鎖の定義がある
順序集合Aの要素からなる列 (an)n∈N（＝自然数）で、a1<a2<・・<an<・・
となるものを昇鎖という
(引用終り)

1）>>7の上昇列　{1,2,3,・・・}∪{ω} | N＝{1,2,3,・・・} → (1,2,3,・・・,ω)
　で、上記松坂の昇鎖の定義を当てはめると
　a1=1,a2=2,a3=3,・・・ となり、列 N＝(1,2,3,・・・)の部分で 添え字集合 n∈N（＝自然数）を使い果たしてしまい、ωに届かない
　つまり、上昇列　(1,2,3,・・・,ω)は、松坂の定義の昇鎖ではない！
2）一方、添え字集合をN → N∪{ω}＝{1,2,3,・・・,ω} へ拡張すれば、下記真の単調増加列の意味で昇鎖である>>603
　(なお，列(1,2,3,・・・,ω)は、当然無限長列である)

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
列 (数学)
列a はその項を明示して(a1, a2, ...)のように表記される事もある。また簡単に (an) 、(an)n と記す方法もしばしば用いられる。

順序構造と単調性
「単調写像」も参照
列の項全体が、ある順序集合の部分集合を成すとき、単調列の概念を考えることができる。
列 (an) が（広義の）単調増加列または単調増大列 (monotonically increasing sequence) であるとは、
i < j ⇒ ai ≦ aj
を満たすことをいう（今の場合これは「どの項も直前の項以上となっていること」といっても同じである）。また、
i < j ⇒ ai < aj
つまり、どの項も直前の項より真に大きいときには、その列は真の（あるいは狭義の）増大列 (strictly monotonically increasing) という。

一般化
一般に、ある集合 X の元の集まりで、整列集合あるいは順序数によって添字付けられるものを広い意味で X の元の列と呼ぶことがある。特に極限数 α をとれば、α によって添字付けられる列を考えることができる。この語法では通常の（無限）列は ω で添字付けられた列ということになる。
(引用終り)