>>659 補足
>この中に、{}の多重無限の状態となっている元が存在する（存在しなければNは無限集合ではない！）

エンドレス状態ってことですよｗ
つまり、個々の元は有限だが、任意のｎに対して、常にｎ+1が存在する

もっと言えば、常に 1〜ｎは有限だが、常に ｎ＜ｘ∈Ｎ なる元ｘは無限に存在する状態です
こういう状態でなければ、Nは無限集合に成りえない

人は、そういう状態を求めて無限公理をおいた
最初の無限集合Nさえできれば、あとはそれをタネにして、いろんな無限状態をZFC内に作り出せるのです

Nを添え字集合に使ったり、Nのべき集合を作ったりしてね