dx dy の意味は？★２

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

にげと

わからない
X = [0, 1]とする
f(x)を、Xを含む開区間で微分可能な関数とすると

df = f'(x) dx

という変換法則をみたすものが微分形式らしい
そして、微分形式には∫_X という操作が定義できて

∫_X df = f(1) - f(0)

をみたす
以上は、変数変換によらず成り立つらしい

x = 0で微分可能な関数fに対して、

∂x(f) = f'(0)

で定まる写像∂xを考える

x = u(t)

と変数変換する（uも微分可能で、x = 0の十分小さな近傍で1対1。簡単のためt = 0でx = 0とする）と

∂u(f) = (f○u)'(0) = u'(0)f'(0)

となるから、

∂u = u'(0)∂x

となる。
つまり、∂とdは変数変換に対して同じ変換法則が成り立つらしい

ところで∂xたちは、Xに適当な条件を課すと
x = pで微分可能な関数の空間から実数への線形写像で

∂(fg) = ∂(f)g(p) + f(p)∂(g)

を満たすものとして特徴付けられるらしい
この定義は、上と違って座標のとり方によらない
だから、

�@ 各点に対して∂を定義する
�A ∂たちの空間の双対空間として、dたちの空間を定義する

こうすると、座標系の取り方によらずに定義できるらしい

んで、dたちの空間に積∧を定義して、Xやdfのfたちに適当な条件を課せば、dたちの空間の変換法則は、
偶然にも重積分の変換法則と同じになるらしい（ただし±1倍の違いをのぞく）

これが、俺が数学科の知人から聞いた話だ
うろ覚えだから、正しくできる人訂正してくれ

もひとつ補足

写像φ: X → Y

を考える
X, Yの∂たちの空間をTX, TY、dたちの空間をΩX, ΩYと書くことにする

φによって

TX → TY
∂ → (f → ∂(f○φ))

ΩY → ΩX
df → d(f○φ)

という線形写像が定まる
dたちの空間を∂たちの空間の双対空間として定義する理由はこれ
XY間の写像との対応で、矢印が逆になるから

私はこれらの説明には説得力があると思った
もしかしたら微分形式や接ベクトルは、物理や幾何学の概念の抽象化としてではなく
単純に多様体の圏からベクトル空間の圏への関手として導入された方が、すんなり理解できるのかも知れない

前スレにも書いたが、積分を微分形式と部分多様体の
対として〈dω,D〉と表示すればストークスの定理は
〈dη,C〉=〈η,∂C〉 と書かれることになる
ddη＝0であるし∂∂Cでもあることからわかるように
微分形式の外微分作用素と部分多様体の境界作用素
は双対の関係になっており、これがコホモロジーと
ホモロジーの双対性につながっているわけなのだ
コホモロジーはベクトル空間であるだけではなく
環としての構造をもっているのだが、他でもなく
それは、微分形式のもつ外積ω ∧ ηに由来している

微分形式が優れているのは
向きも定義できるからだな

なるほど

>>10
>それは、微分形式のもつ外積ω ∧ ηに由来している
ホモロジーの方は余積構造入るけどこちらは何に由来？

>>13
余積構造って何？

∂/∂xは観測ウゥゥぅ

そもそもなぜ方向微分のことを「接ベクトル」というんだ？
これは幾何学的な接線や接平面と関係あるのか？

そりゃあるでしょ
その方向に沿った微分なんだから

方向微分と呼ばれる理由ではなく、接ベクトルと呼ばれる理由だと思うんですけど

Mをn次元微分可能多様体、p_0∈Mとする。
Mは十分大きなR^Nに埋め込まれているとする。

p_0の十分小さな近傍Uでは、R^nの開集合Wとの間の同相写像。

p: W → U

が存在。

何次元でも同じなので、2次元とする
s_0, t_0を、p(s_0, t_0) = p_0を満たすものとする。
p_0における（幾何学的な）接平面はp_0を通り、{∂p/∂s(s_0, t_0), ∂p/∂t(s_0, t_0)} で張られる平面。


続いて、方向微分。p_0を通る曲線εを考える。IをRの開区間として、εは

ε: I → M

と書けるとする。これは上のpによって、局所的には

ε: I → W → M
u → (s(u), t(u)) → p(s(u), t(u))

を考えるのと同じ。これをuで微分すると、ε(u_0) =(s_0, t_0)として

∂s/∂u(u_0) ∂p/∂s(s_0, t_0) + ∂t/∂u(u_0) ∂p/∂t(s_0, t_0)

となる。つまり、これ + p_0は接平面上の点になる。

上のpを、f○p（fはM上の微分可能な関数）に置き換えると、
多様体上の接ベクトルや方向微分の定義になる
（より正確には、f → A ∂f○p/∂s + B∂f○p/∂t という写像が、それらの定義）

上ではMはR^Nに埋め込まれている場合を考えたが、
標準的な埋め込みというものは無い。だから、pをR^Nのベクトルと考えることができない。内在的に定義するとこうなる
この定義から、>>19の定義を復元するには、fとしてR^Nの座標関数を取ればいい