dx dy の意味は？★２

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

にげと

わからない
X = [0, 1]とする
f(x)を、Xを含む開区間で微分可能な関数とすると

df = f'(x) dx

という変換法則をみたすものが微分形式らしい
そして、微分形式には∫_X という操作が定義できて

∫_X df = f(1) - f(0)

をみたす
以上は、変数変換によらず成り立つらしい

x = 0で微分可能な関数fに対して、

∂x(f) = f'(0)

で定まる写像∂xを考える

x = u(t)

と変数変換する（uも微分可能で、x = 0の十分小さな近傍で1対1。簡単のためt = 0でx = 0とする）と

∂u(f) = (f○u)'(0) = u'(0)f'(0)

となるから、

∂u = u'(0)∂x

となる。
つまり、∂とdは変数変換に対して同じ変換法則が成り立つらしい

ところで∂xたちは、Xに適当な条件を課すと
x = pで微分可能な関数の空間から実数への線形写像で

∂(fg) = ∂(f)g(p) + f(p)∂(g)

を満たすものとして特徴付けられるらしい
この定義は、上と違って座標のとり方によらない
だから、

�@ 各点に対して∂を定義する
�A ∂たちの空間の双対空間として、dたちの空間を定義する

こうすると、座標系の取り方によらずに定義できるらしい

んで、dたちの空間に積∧を定義して、Xやdfのfたちに適当な条件を課せば、dたちの空間の変換法則は、
偶然にも重積分の変換法則と同じになるらしい（ただし±1倍の違いをのぞく）

これが、俺が数学科の知人から聞いた話だ
うろ覚えだから、正しくできる人訂正してくれ

もひとつ補足

写像φ: X → Y

を考える
X, Yの∂たちの空間をTX, TY、dたちの空間をΩX, ΩYと書くことにする

φによって

TX → TY
∂ → (f → ∂(f○φ))

ΩY → ΩX
df → d(f○φ)

という線形写像が定まる
dたちの空間を∂たちの空間の双対空間として定義する理由はこれ
XY間の写像との対応で、矢印が逆になるから

私はこれらの説明には説得力があると思った
もしかしたら微分形式や接ベクトルは、物理や幾何学の概念の抽象化としてではなく
単純に多様体の圏からベクトル空間の圏への関手として導入された方が、すんなり理解できるのかも知れない

前スレにも書いたが、積分を微分形式と部分多様体の
対として〈dω,D〉と表示すればストークスの定理は
〈dη,C〉=〈η,∂C〉 と書かれることになる
ddη＝0であるし∂∂Cでもあることからわかるように
微分形式の外微分作用素と部分多様体の境界作用素
は双対の関係になっており、これがコホモロジーと
ホモロジーの双対性につながっているわけなのだ
コホモロジーはベクトル空間であるだけではなく
環としての構造をもっているのだが、他でもなく
それは、微分形式のもつ外積ω ∧ ηに由来している

微分形式が優れているのは
向きも定義できるからだな

なるほど

>>10
>それは、微分形式のもつ外積ω ∧ ηに由来している
ホモロジーの方は余積構造入るけどこちらは何に由来？

>>13
余積構造って何？

∂/∂xは観測ウゥゥぅ

そもそもなぜ方向微分のことを「接ベクトル」というんだ？
これは幾何学的な接線や接平面と関係あるのか？

そりゃあるでしょ
その方向に沿った微分なんだから

方向微分と呼ばれる理由ではなく、接ベクトルと呼ばれる理由だと思うんですけど

Mをn次元微分可能多様体、p_0∈Mとする。
Mは十分大きなR^Nに埋め込まれているとする。

p_0の十分小さな近傍Uでは、R^nの開集合Wとの間の同相写像。

p: W → U

が存在。

何次元でも同じなので、2次元とする
s_0, t_0を、p(s_0, t_0) = p_0を満たすものとする。
p_0における（幾何学的な）接平面はp_0を通り、{∂p/∂s(s_0, t_0), ∂p/∂t(s_0, t_0)} で張られる平面。


続いて、方向微分。p_0を通る曲線εを考える。IをRの開区間として、εは

ε: I → M

と書けるとする。これは上のpによって、局所的には

ε: I → W → M
u → (s(u), t(u)) → p(s(u), t(u))

を考えるのと同じ。これをuで微分すると、ε(u_0) =(s_0, t_0)として

∂s/∂u(u_0) ∂p/∂s(s_0, t_0) + ∂t/∂u(u_0) ∂p/∂t(s_0, t_0)

となる。つまり、これ + p_0は接平面上の点になる。

上のpを、f○p（fはM上の微分可能な関数）に置き換えると、
多様体上の接ベクトルや方向微分の定義になる
（より正確には、f → A ∂f○p/∂s + B∂f○p/∂t という写像が、それらの定義）

上ではMはR^Nに埋め込まれている場合を考えたが、
標準的な埋め込みというものは無い。だから、pをR^Nのベクトルと考えることができない。内在的に定義するとこうなる
この定義から、>>19の定義を復元するには、fとしてR^Nの座標関数を取ればいい

念のため
以上は、登場人物全部が何回でも微分可能な場合
それ以外はよう知らん。ごめん

>>18
微分である以上接ベクトルと呼ぶことに違和感はないと思いますよ

なんだこの会話成立しないやつ

>>22
なぜ微分だと接ベクトルに違和感はないんですか？

例えば、高校生は微分は知ってても接ベクトルは知りませんね

なんだ劣等感お姉さんか

>>24
わからないなら自分で文献を調べて当たれよ。
何でもかんでもセルフコンテインドで一冊の本の中で内部参照自己完結してる前提なんて百科事典ぐらいしか本来やりようがない。

そもそも、違和感の有無ではなく
>>16は「なぜそう呼ぶのか」と聞いているのだが
なぜ、2行の日本語すら正しく読めない？

もう劣等感ついてこれんやろ

ここの方は数学の前に日本語ができないようですね

>>29
シベリアの山奥とかならスミルノフ高等数学教程ぐらいしかマトモに網羅的な教科書に触れる機会がないなんて状況もあるかもしれないが

で、接ベクトルの語源わかるなら書いたらどうなんですか？？

わかるなら書けるはずですよね
書かないということはわからないということです

>>17は「ある」と書いてるし、>>16の2行目に対して答えたんだろう
それに対して劣等感が1行目の「接ベクトルと呼ばれる理由」にフォーカスを当てておかしな方向に行ってる気がする

日本語が読めないんですねと言ってる人が日本語を読めていない状況

>>13
そう
だからホモロジーは余代数になる
初学者にとってよい演習だから
自身の頭を使って考えてみよ

わからないんですね

>>32
分からないのを誤魔化すために理屈を組み立てるのは、みっともないぞ

で、なぜ方向微分のことを接ベクトルと呼ぶの？

だってスカラー倍も足し算も定義できるんだからベクトルって言ってもいいでしょ？
しかも接平面上の点と一対一対応してるんだし

>>33
それってコホモロジーの双対で余席構造入れるってことを言ってる？
つまんなくないそれ？

>>36
方向微分=ある方向への微分(実際、軸方向への方向微分が偏微分)だから実質一変数の場合の微分と同じイメージでいいけど
「一変数の微分がなぜ接線を表すのかわかりません」ということ？？？

接線方向を表すベクトルだから、と素直に書けばいいだけの話ですよね
国語が苦手なのでしょう

尾籠様日本語は止してフランクにいこうや
まっさか様。

>>39
一変数の微分は接線を表すのですか？
それはどういうことですか？

流石にそれは高校でやったのでは？

微分は接線を表す

高校生でも間違ってるとわかりますね

はて？

微分というのは、関数にその導関数あるいは微分係数を対応させる操作のこと
接線というのは、曲線のある点に接する直線のことだが、
「微分が接線を表す」とは、どういうことだ？？

こういう「分かった気」になってるバカって笑えるよな
ちゃんと手動かして論理を追わないから、こういう勘違いをするんだ
集合とその元の区別がついてないようなもの

ビブンケイシキガーは微分と接線の区別もつかないのでした(笑)

キースラーの無限小解析の教科書に出てたけど
接線ってのは曲線の1点を無限大拡大した物だという風には
普通教えないんだけど何でかな
無限に拡大していくとドンドン接線になっていくってのは
むしろ分かりにくいんだろうか
まあ
高校性で曲線のアフィン変換
まともにできるやつはむしろ少ないから
仕方ないのかな

それ以前にそんな定義の仕方するなら今の解析学を無限小解析を利用したものに書き替えんといかん
それで現代解析学が古臭くて意味ない物だと思えるほどの効果がホントにない限りはそんな大改革しようと誰も思わない
今のところ無限小解析にそこまでやるだけの魅力がない
もちろん無限小解析学大好きな研究者もいるだろうからそういう人が現代解析学の主だったジャンルを全部無限小解析で書き換えた書物なりなんなり出てこないと候補にすら上がらん

微分は接線を表すって、多様体上の曲線の局所的な振る舞いは微分を誘導するってことを言いたかったんじゃないの？

>>50
どういうこと？

わからないんですね

>>50
？？

ワイは微小増加量の一言で納得したタイプ
リーマン和を知ってたら悩むこと全くあらへん

「dxは微小増減」

などと言われて納得してしまう人は、危ういんだよな

解析概論も読めない方が何か言ってますね

微小体積として導入したものと、Jacobi行列による変換法則をみたすテンソルとして導入したものが、同じになるというのは、背後により普遍的な原理があるのではなかろうか？

微小体積（測度）は同じ集合上でも本質的に異なるものが複数取れるが

>>50
いや普通に接線の傾きですよ
傾きは当然直線の同値類なわけで

まさかそれすら知らん人がこんなにいるとは思わなかったけど

>>59
？
詳しく

>>59
「接線の傾き」の定義は？

「それらしい言葉を並べておけば、他人は意図を汲んでくれるだろう」という甘え

学問には向いていない性格

わからないんですねを連呼してるひとはわからない事を恥だと思ってるんだろうな
可哀想に

微分係数dy/dxと微小量dxと微分形式dxは、全部dxの意味が違うから
本来は記号を分けたほうがいいんだろうけど、面倒だからそのまま
放置されてて同じ記号を使うから混乱してしまう人が多いのだろう
微分係数dy/dxは分数じゃないから、微小量のdxを使って(dy/dx)dx=dy
などとやったりするのは間違いなんでないか

わからないんですね

>>64
微小量dxって何？

学部生だけど、イプシロンデルタやった後の次の講義で全微分出てきて「は？」ってなったわ。
説明なしで何dxとdyを切り離してんねん
結局解析が嫌いになってひたすら代数だけやって専門も代数

解析概論にちゃんと載ってると思いますよけどね、全微分の定義は

微分形式使わないと説明できない可哀想な方にはまあ説明できないでしょうけど

解析系の数学書は代数系の人が書いた人と違って馬鹿みたいな曖昧な書かれ方したものばっか。
全称と存在を省略したまんまクソ曖昧に命題を述べても気にならない異常者の集まり。
写像の始域と終域をちゃんと書かないのもくっそいらつく。

わからないんですね

正直解析まじでなんもわからんわ
代数に関しては公理的集合論に立脚した定義全部書き下せるけど、解析に関する定義でそれをやることは多分不可能。

f:R^2→Rを考える。

∃x,y∈R ∃r ＞0 ∀(Δx,Δy)∈B(0;r)に対して
f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy+o(√(x^2+y^2))
が成り立つとする時、fは(x,y)において全微分可能であるという。
ここで、B(0;r)⊂R^2は原点を中心とする半径rの開近傍を表す。

このとき、df(x,y,Δx,Δy)= X(x,y)Δx+Y(x,y)Δyをfの全微分と呼ぶ。

↑が一番初等的な全微分の定義です。
∃とか∀とかちゃんと書きましたよ
わかりましたか？

df:R^4→Rですね

せっかくレベル高い話で始まったのに結局ここに落ち着くのかwwwww

だーかーらー、微分形式はなぜ微分がdy÷dxというように割り算の記号を用いて書かれる習慣があるのかという疑問の答えにはなり得ないんですよ

何度言えばわかるんですか？

微分形式が念頭にある限り、微分が微分「商」と呼ばれたり、dy/dxというように分数使われてる理由は、不明、と思考停止するしかありません

ですが、これはあまりにも歴史的な流れを無視して形式にこだわりすぎていて、回答になっていません

そこをうまく説明できないから、>>67みたいな人が大量発生するんですよ？？

だーかーらー教科書嫁
俺様解析学を他人に押し付けるな

じゃ早く説明してください？？

なぜdy=y’dx、dy/dx=y’

このようにあたかも分数のように取り扱うことができるような記号体系になっているのか

ビブンケイシキガー、の人からは一切説明がないですね？

偶然の一致、以外に説明できるものならしてみてください？

私は微分形式知ってますからね？

微分形式は多様体上に定義された余接ベクトルバンドルのことです

それを知っているからこそ、微分形式はなぜdy/dxという割り算が使われるのかという疑問の答えにはなり得ないことを知っています

古典の曖昧な記述を無理やりな解釈で捻じ曲げて厳密だと言い張るのって、古典の擁護なんかでは全くなくて、むしろ曖昧な基礎づけしかなかった時代にありながらも目覚ましい成果を上げてきた過去の数学者達に対する侮辱でしかないんだよね

知ってるわけないwwwww
そんなレベルの話してませんがな
教科書といえば解析概論一本やり
それで微分形式の議論できるわけないやろ
アホ〜wwwwwwww

>>80
いやだから、>>72のどこが曖昧なんですか？

ビブンケイシキガーは批判するばかりで質問を棚上げするばかりですね？

>>81
文句があるなら質問に答えたらどうなんですか？
>>67さんに納得できるように説明してみてくださいよ

ほら、はやくドラームコホモロジーでもポアンカレの補題でも使って説明してください？

>>82
教科書も読まんで数学を語ろうとしてるアホにからかう以外の使い道あるわけないやろ
アホ〜

↑ビブンケイシキガーはこのように他人を批判するばかりで、数式の一つも出てきた試しがありませんね？

>>72

∀f:R^2→R∀x,y∈R(
fは(x,y)において全微分可能
⟺
∃r ＞0 ∀(Δx,Δy)∈B(0;r)(f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy+o(√(x^2+y^2)) )
)

ちゃんと閉じた論理式として定義するにはfにも全称記号つけるべきだしxとｙは存在ではなく全称だと思う。
ちなみにこのレスは悪意で書いてるわけじゃない。

微分形式ではdy/dxは微分形式の割り算として解釈することはできない

↑ただこれだけの話なのになぜ認めないんでしょうね？
意味がわかりません

>>85
数式ってwww
解析概論が人生で読んだ1番難しい本の人間に理解できる数式なんぞないわwwwwww

>>88
悔しかったら数式書けばいいだけの話ですよね？

ほら、はやくしてくださいねー

>>86
でわかったのかわからないのか聞いてるんですけど？

答えがないということはわからないということですね

わからないんですね

∃x,y∈R ∃r ＞0 ∀(Δx,Δy)∈B(0;r)に対して
f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy+o(√(x^2+y^2))

この時点でまともでないとかはひとまず置いといて、解析概論の記述を無理やり
df(x,y,Δx,Δy)= X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy
と解釈して解析概論は厳密だったと言い張るのが侮辱ってことね

>>91
わからないんですね

>>89
悔しくないから書きませーんwwww

>>93
わかるなら書けるはずですね

ということは、書かないということはわからないということです

わからないんですね(笑)

>>94
わかりませーんwww

>>95
わからないんですね

日本語の読解が不得手なようで

>>97
わからないんですね