dx dy の意味は？★２

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

>>106
家に行って慰めてあげましょうか？

うちでかいホワイトボードあるからゼミしよう

>>108
住所を教えてください
電話番号まではわかりましたけど住所がわかりません

かけてきて

>>110
住所がわかるなら書き込めるはずですね

書き込まないということはわからないということです

自分の住所もわからない人が数学なんてできるわけないですよね？？

電話番号がわかるならかけられるはずですね

かけてこられないということはわからないということです

11桁の数字を打ち込むことすらできない人が数学なんてできるわけないですよね？？

〜人が数学なんてできるわけないですよね？？
って言い回しいいな。日常生活でも使ってくわ

>>104
これ(ID:Cvmwu/OB)が劣等感婆さんという哀れな生物です
数学板に常駐するキチガイの一人です

なんか知らんけど、急にレス伸びてるね

>>66
微小量dxは、εδ論法でいうところの
δみたいなもので、比較的に小さな値を表す
dxでなくδxと書いて区別するべきと思う
微分係数dy/dxは分数ではなく一つの記号
(dy/dx)δx≒δyであってイコールではない

もしもdxとdyが無限小で、dy/dxを本当に
分数だと思えば、(dy/dx)dx=dyになるね

物理で出てくるΔ記号みたいなものと理解した。

まぁスレが伸びても話はいっこうに進まんのだけどな
そもそもdxとかdxが何かなど議論する余地なんかないし

なんか数学というよりかは数学史の話のような気がする。

>>104->>110
|Σ0
|; ∆)ﾟ ﾟ

…未亡人ｯﾁｬﾏ…新ｽｨｨ恋活…?…

>>111
…恋ﾉ力…?ﾛﾝﾘ-ﾛﾝﾘ~飛躍的…
飛躍的ﾁﾞｬﾅｨ?
　。○
゜

>>104違ｯﾀ!…ｶﾝｹ-ﾅｶｯﾀ!
ﾌﾟｯﾋﾟ~!

>>111
> ID:Cvmwu/OB
つまんない人には数学すらできるわけないですよね？？

>>58の答え教えてほしい

多様体上の積分における変数変換公式は、外微分と外積代数の性質から来ていて、それが上手いこと重積分の変数変換公式と整合している
もし、R^nの測度としてLebesgue測度以外をとったら、微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか知りたい

よくわかりませんけど、微分形式としての体積形式を適当に変えればなんとかなりませんかね？

多様体上に定義される体積形式は一意に定まらないはずです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E7%A9%8D%E5%BD%A2%E5%BC%8F#%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E3%81%A8%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82

ここら辺みてみると、どうやら体積形式を用いて一般の測度を再現することはどうやら一般には難しそうですね

>>122
>微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか
意図していることが分からないから何とも言えないが
軽量は後付だからそっち側をどう定義するか考えてたら良いだけじゃないの？

わからないんですね

ビブンケイシキガーさん、出番ですよー

計量はリーマン多様体にしか定義されておらず、物理学で使われる√g云々は一般相対論に都合がいいようにという物理学の要請で定められた、無数にある体積要素の一つに過ぎない

そんなことすら知らないような方が普段ビブンケイシキガーと言っているのは滑稽ですね(笑)

>>125
こいつ最高にアホ

コンパクト多様体M上なら、リースの表現定理を使って、Mの体積形式ωからM上の測度μが一意に定まる。

f → ∫_M fμ := ∫_M fω

だからまあ、測度を取り替えれば、ωも変わる

それができない、とウィキペディアに書いてあります

どういう測度が体積形式からくるか

各チャートR^n上の測度を取り替えたとき、M上の測度が定まるかどうか

は知らない

>>129
後付って分からないのか・・・

>>133
どういうこと？

>>133
もういい大人なんだから

「それっぽいことを言っておけば、聞く人は意図を汲んでくれる」

という思考、やめた方がいいよ？
数学をやるなら尚更

>>135
ハイハイどもすみませｎ

この（前）スレでたびたび出てくる「双代空間」ってのは、要するに

通常空間にたいして、それにぴったりひっついているような別の空間、例えば電場の空間とか磁場とか…

みたいなのを想定するみたいなカンジ？？
線形性を保持しているとかの性質があるような条件が必要で…

>>137
＞双代空間

双対はそうたい(そうだい？)ではなく「そうつい」と読みます……簡単に言えば与えられた空間上の関数全体からなる空間です
電場や磁場のように「(物理的な)ベクトル場の作用している空間」ではなく、3次元空間に対してその線形関数全体のなすベクトル空間のことです
線形性を保持というのは意味がわかりませんが、ベクトル空間の双対空間はベクトル空間になるので、その上の線形写像を考えることはできますね

双対の明確な定義はないけど、入れ替えても同じなので、片方を証明すれば、もう片方も証明できる

>>137
たとえ話的に言うとベクトルに対する物差しみたいなのが双対ベクトル
双対ベクトルはベクトルを受け取ってそのベクトルに対してある種の量を返す
例えばベクトルのx成分を測ってくれる物差しは双対ベクトル
こういう物差し全体を双対空間(dual space)といってV^*とか表記する
(但し物差しで測られるベクトル全体(=ベクトル空間)をVとした)
物理的な例でいえば、一定の力Fとの内積<F,->は変位ベクトルrを測って力Fがした仕事Wがどれぐらいか教えてくれるので双対ベクトル
他にも一定の電場Eとの内積<E,->が変位ベクトルrに対して双対ベクトル(測定結果は電位差)だったり色んなところに出て来る
双対ベクトル(covector)の図示に関してはこれが分かりやすい
https://www.youtube.com/watch?v=LNoQ_Q5JQMY

>>137
k上のVに対してV*=Hom(V,k)

Hom_k(V,k)か

測度のようなちょっと難しい話だとwikipedia以上のことは出てこないのに、双対空間のような簡単な話題になると沢山のレスが即座に着くんですね

またおまえかｗ

質問の内容がはっきりしてると答えやすいってのはありそう

>>137
ゴミ

>>137
あなたに必要なのは
思い込みを捨てること

歴代の数学者が連綿と紡いできた学問体系を
自身の瑣末な知識の類推と捉えないこと

数学を理解するには
一字一句丁寧に数学書を読むしかないんです

概念の定義を正確に理解する
具体例を計算する
証明の行間を補う
ある性質を示すために、何の定理を使ったのか
その仮定と結論は何か、本当に仮定の条件を満たしているのか
ある条件がいかに証明に用いられるのか、その条件を除いたら反例を作れるのか
………

そういったことを丹念にこなして初めて数学は理解できるのです
時には別の文献に当たらねばならぬこともあるでしょう
有名な本であっても致命的な誤植や誤りがあることもあるでしょう
しかし、それは普通のことです
学術書は、それらの障害を乗り越えられる人を対象に書かれています

学問とは
試験のための知識を詰め込むことでも、他人にひけらかすための知恵を身に付けることでもありません
その学問が研究している対象それ自体を理解し、その深い洞察を前提として、独自の観点・問題意識から対象を分析・再体系化することです

あなたには学問をするための心構えがまるで足りていません
いつまでも親鳥に餌を運んでもらう雛のように、受動的に教えを乞うています

あるいはこう考えているのかも知れません
数学は受験勉強のように学ぶべき範囲が決まっていて
それを手取り足取り教ええくれる教材や学校があって
資格試験のようなものに合格しさえすれば数学を修めたと言える、と

そういう考えは今すぐに捨てなさい
学問とか以前の問題です
こんな考えを持っている人間は、社会で生きていくための基礎ができていません

アホな議論を、見て、
まず、微分可能とは、局所的に線型写像で近似できることであること、を確認する必要がある。
近似線型写像の定義域は、接ベクトル空間だろう。
実数値関数の近似線型写像は、接ベクトル空間を定義域とする実数値線型写像となる。
これは、接ベクトル空間の双対空間の要素（余接ベクトル）である。
接ベクトルは実体が解りにくいが、余接ベクトルは実数値関数の近似線型写像として実体を持つ。
で、次のように定義すればよい、
実数値関数の近似線型写像を余接ベクトルという、余接ベクトル全体は自然に加法とスカラー倍が定義出来る、これを余接ベクトル空間という。
代数多様体においても、類似の方法で、余接ベクトル空間を定義出来る（特異点以外）。

>>148
上記で、余接ベクトルが微分形式である。

なあ
なぜ、ごく初歩的な教科書を読めば、誤解の余地のない説明がされているものを
わざわざ自己流に言い直すんだ？

馬鹿なのか？

分かりやすく（少しぐらい厳密さを欠いたとしても）言い直そうと思っているとか？

微分形式は単なる余接ベクトルではないんだろ？

>>150
それよりも読点多すぎて馬鹿っぽく見える

"dxは微小体積"派の人は、
χ_ℚをℚの特性関数として

∫_[0, 1] χ_ℚ(x) dx

は、どのように解釈するのですか？積分不可能？

また面白そうなネタ持ってきましたね

>>154
そんな派閥ねえよ

積分でなくdxが体積とか何その派閥
誰が言い出したんだよ

>>147
微分形式は物理学でも便利な道具なんだが？。

なんか中途半端に解析概論ぐらいで厳密だと思って大上段からご講釈垂れられると思って偉そうにするほうがお門違い。

でもビブンケイシキガーさんは、>>122のようなちょっと突っ込んだ微分形式の議論に対してはまともなこと書き込めてなかったですよね

質問の意図が不明瞭だからな
「済む」って何だよ

ビブンケイシキガーって誰よ
そんな奴おらんよ？

>>159
その人の懸念が何なのか不明確すぎて誰も答えられまいよ

>>158
>>147のどこに「解析概論」の話が出てるの？

>>160>>162
それはお前が馬鹿なだけ
質問の意図は明瞭

実際>>130は答えてるじゃないか(笑)

コミュ力が足りないんじゃないないのか？

劣等感婆ともう一人ヤバいやついないか？

>>130
開部分多様体を取るとコンパクトでなくなるから、各R^nの測度を取り替えたときまでは分からないな（分からないというか、議論の範囲外）

>>168
積分をするときに使う1の分割の各サポートはコンパクトにできるから、同じ議論でいけるのでは？

で、問題はLebesgue測度以外の測度でも、変数変換したらJacobi行列式がでてくんの？

って話

測度のpush forwardというのがあってだな
重積分の変数変換公式はその特別な場合

pull backでは？

あ、いやなんでもない

Wikipedia読んでも、具体的にどう対応するのかイマイチ掴めない
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Pushforward_measure

たとえば

D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≦ 1}

として

x = r cosθ
y = r sinθ

と変数変換したときの

∫ _D dxdy = ∫_[0, 1]×[0, 2π] rdrdθ

では、どうなってるん？

dx = cosθdr - rsinθdθ
dy = sinθdr + rcosθdθ

dx∧dy
= ( cosθdr - rsinθdθ ) ∧ ( sinθdr + rcosθdθ )
= - rsinθdθ ∧ sinθdr + cosθdr ∧ rcosθdθ
= - rsinθsinθdθ∧dr + rcosθcosθdr∧dθ
= rsinθsinθdr∧dθ + rcosθcosθdr∧dθ
= rdr∧dθ

wikipediaで勉強するとかあり得ん

>>164
ハイハイどもすんませんな
明確なら
微分形式の定義や操作が
変わるかも知れないと
思ったわけを説明してね

>>175
こいつは馬鹿なのか

>>165
それは>>58への回答であって>>122の意味不明な懸念
>多様体上の積分における変数変換公式は、外微分と外積代数の性質から来ていて、それが上手いこと重積分の変数変換公式と整合している
>もし、R^nの測度としてLebesgue測度以外をとったら、微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか知りたい
への回答では無い

>>178
意味わからないのはお前の頭が悪いからだよ

>>177
あんた
かき回したいだけならどっか行ってくれないかな

>>180
話の流れを理解できていないのはお前

>>170
コレなら明確
変数変換した先の測度を元の測度を送った物として定義するなら
ヤコビアン出てくるのは理の当然

>>182
それはどうして？

>>182
Lebesgue測度に対しても、変数変換にJacobi行列式が出てくることは、全く自明ではないと思うのだが

その議論が書いてある参考文献教えてくれ

送った先の測度が元の測度にヤコビアンを掛けた物と一致しているからこそ
積分の変数変換になるからだよ
だから理由も何も
定義そのものと言えるアホらしい状況

>>185
ｋｗｓｋ

>>185
繰り返しスマン
少なくともLebesgue測度に限っても、変数変換にJacobianが出てくることは全く自明ではないと思うのだが、そういう議論をしている教科書があるなら教えてくれ

>>185
何度もすみません。

普通の微分積分の教科書で、変数変換公式の証明を「定義そのもの」で済ませているものは無いと思います。
たしかに微分積分の教科書はRiemann積分ですが、Lebesgue積分になったところで自明になるようなものでは無いと思います。
私の認識不足でしたらすみませんが、そういう議論をしている教科書があれば教えて下さい。お願いします

…ｺﾜｨﾅｧ…
…戸締り首都高…

>>174
これよくわからないんですけど、変数変換と関係あるんですか？
ないと思うんですけどどうなんでしょう？

測度空間(X1,Σ1,μ)を用いて、測度が未定義の可測空間(X2,Σ2)の測度f*μを新たに定義するという話ですよね？

変数変換の場合、どちらの空間にも測度は既に定義済みだと思います

にしても、ビブンケイシキガーは本当役に立ちませんね
グダグダ文句垂れてできることといえば脳死で変数変換の記号いじりだけじゃないですか

>>185
お調べいただいている最中でしたらすみません。
何度もすみませんが、積分の変数変換にJacobi行列式が出てくることは、Lebesgue測度に限っても、全く自明なことではないと思います。
実際、微分積分の教科書では、変数変換公式を一般の場合に証明するのに多くのページを費やしています。学部1-2年でやる微分積分はRiemann積分ですが、Lebesgue積分になったからと言って、変数変換公式が自明になるとは思えません。
私が寡聞にして存じないだけでしたらすみませんが、そのような議論をしている文献があれば教えて下さい。

教えない

すまん
>>194は>>192

これが多分ルベーグ測度以外だと変数変換がおかしくなることの具体例になると思います

•X(R,Σ,μ)を測度空間とする。
R:実数
Σ:ボレル集合
μ: μ(E)=μ_L{x∈E| 0≦x≦1}、E∈Σ
ここで、μ_Lは通常のルベーグ測度

f:X→X、f(x)=x+1を考える
C=[0,1]⊂Xとすると、f(C)=[1,2]⊂X

このとき
∫_C dx=1、∫_f(C) dx=0
fのヤコビアンは1ですが、積分の値は一致していません

>>196
なるほど

Dirac測度
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E6%B8%AC%E5%BA%A6

δ_x(A) := 1 if x∈A, 0 otherwise

を考えても、変数変換公式成り立たない例を作れますね！

測度の方も変換するのでは？

>>199
その通り
>>196は積分の変数変換ではない

ヨコだが“dfが測度を与える”というのはStieltjes積分の意味やろ

関数φ(x)が与えられたときBorel可測集合上の測度μ(φ:X)を
μ( φ; (a,b) ) = f(b-0) - f(a+0)
μ( φ; {a} ) = f(a+0) - f(a-0)
で定めることができる
そしてこの測度による積分を∫f(x)dφ(x) などと書く場合がある
この場合のφは別に微分可能でなくても良いし、なんなら連続ですらなくてもよい、(むしろ連続でない場合にこそ真骨頂がある)
しかし可微分である場合には
∫f(x)dφ(x) = ∫f(x)φ'(x)dx
とかが成り立ったりしてる
もちろんこの意味でのdφの解釈は大切だし数学科卒なら絶対理解してないとだめなやつではあるんだけどな
しかし微分形式という解釈を押しのけて第一義的にこれとまでは言えないやろな

>>199
よくわからないんですけど、その測度の変換が常にヤコビアンになっているという主張なのではないですか？

>>200
すみませんが、文献を示していただけないでしょうか？

>>198の測度を使えば

∫_R dx = 1

x = 2y とおくと

∫_R dx ≠ ∫_R 2dy = 2

>>199
極座標の例では
f:X→Y、(r,θ)→(x,y)では、(r,θ)における長方形Dが、(x,y)においてはバウムクーヘンの切れ端f(D)みたいなものに変換されますよね？X=Y=R^2

その測度間の変換は比例関係にあるというのが通常の変数変換の公式です
μ_Y(f(D))=r*μ_X(D)
μ_X、μ_YはX,Yの測度


>>196の例では
f:X→Y、x→x+1によって、Xでの[0,1]区間CがYでの[1,2]区間f(C)へと移動しています
X=Y=[>>196における(R,Σ,μ)]

もし仮に、上の極座標と同様の関係が成り立つのであれば

μ_Y(f(C))=0∝μ_X(C)=1となるはずです

しかしそうではないということは、通常の常識は通用していないということですよね？

>>204
こちらの方がわかりやすいですね

通常の変換公式使うと答えが合いません