dx dy の意味は？★２

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

�@
n次元多様体Mに対して、次数付けられたベクトル空間

Ω(M) = Ω^0(M)⊕...⊕Ω^n(M)

と、線形写像d: Ω^k(M) →Ω^(k+1)(M)が存在。

�A
多様体の射f: M → Nに対して、引き戻しf*: Ω(N)→Ω(M)が存在

�B
座標近傍(U, φ)上で、k次の成分がf(x)dxみたいに書けて、別の座標近傍(V, ψ)とそこでの表示g(y)dyを取ると、nCk次行列T(y)があって

f(x)dx = T(y) g(y)dy

をみたす（k = 0, 1, ..., n）


微分形式の場合は、dは外微分で、TはJacobi行列（から作られる行列）だったわけだが
dとTを適切に選べば、ルベーグ測度以外でも多様体上の積分と同じ理論を作れるか？
とりあえずは、Stokesの定理を成り立たせるのが目標

あと、de Rhamコホモロジーの類似もできるといい
だから

d○d = 0

も要求

難しいと思いますね

R上のディラック測度δ_0を考えます

y=x+1として

1=∫[-1/2,1/2]dx≠∫[1/2,3/2]f(y)dy=0

fとしてなにを選んでもこうなってしまうので、少なくとも、Ω^1(M)の元dxをそのまま積分記号と解釈することは難しいのではないかと思います

>>217
よくよく考えたらこれでいい気がしてきました

>>224の場合は、通常の測度と微分形式を用いて、ディラックのδ関数使って

1=∫[-1/2,1/2]δ(x)dx=∫[1/2,3/2]δ(y-1)dy=1

これでいいですもんね

δ関数の正当性とか考え始めるとカレントが必要ってことなのでしょう

であと問題になるのは、任意の測度を微分形式の言葉に書き直せるのかってところですけどそこらへんはどうなんでしょうか

というか違いますね
私なんか勘違いしてましたけど、多様体の測度と、チャートで映されたユークリッド空間の測度は別にしないといけないんですね

多様体上に変な測度を考えるときは、ルベーグ測度を用いたユークリッド空間上で非自明な体積形式を考えてそれに関するルベーグ測度を用いた積分を行えば良い

ですが、この方法で全ての多様体上の測度を尽くせるかはよくわからないと

微分形式と全く同じく、たとえばMが2次元なら

Ω^0 = M上の関数
Ω^1 = M上の関数を係数としてdx, dyで張られる
Ω^2 = M上の関数dxdyで張られる

とすればよいのでは。

で、別のdx', dy'をとったときに

dx = A(x', y')dx' + B(x', y')dy'
dy = C(x', y')dx' + D(x', y')dy'

dxdy = E(x', y')dx'dy'

という座標変換が必要。
普通の微分形式の場合は、A, B, C, D, Eはヤコビ行列から決まった。
今回は、与えられた測度での積分の座標変換と整合するように定める。

あとは、ストークスやドラームを外微分dを適切に定義する必要がある。

>>227
> ストークスやドラームを
ストークスやドラームが成り立つように

ストークスを考えるには、境界上の積分が必要だから、R^nの測度というより

R, R^2, ..., R^n

すべてに何らかの意味で一貫した測度が入ってなきゃいかんね

そこはRの測度が最初にあって、その積測度で良さそう

まぁ自分の中で第一義に何をもつてくるのかは自由だわな
しかし理系の人間が話し合って、例えば何を最初に教えるかという議論をするなら話違ってくる
もちろんその場合は微分形式一択やろ
これだけ現代数学、現代物理学を学んでいく上で避けて通れない概念も中々ない
まず微分形式と解釈した場合の主だった定理や公式を理解した上で、その上でイヤイヤこんな解釈もあると進のはいいやろけど
そんな事考えるのはまず学部の数学一通り全部理解した後の話だよ

ディラック測度の積測度ってなに？
δ_a×δ_bは、

(a, b)を含むなら1、含まないなら0？

第一成分への射影がaを含む or 第二成分への射影がbを含むなら1、そうでなければ0？

μ×λ(E×F) = μ(E)×λ(F)

だから前者

あと、測度に完備性を要求するなら、積取ったあとに完備化しないといけない

>>204,224
そうはならない
x,yそれぞれに測度を勝手に導入して
微分形式だけ変換しても一致するわけないだろ
測度とは長さ面積体積などの計量の一般化なのだから
それらが対応するように変換しなければ
そもそも積分の変数変換とは呼ばないのだよ
そんなの当たり前のことだ
ディラック測度δ_0はディラックのδ関数と微分形式によって
dδ_0(x)=δ(x)dxと解釈することはできる
x=2yとするなら
dδ_0(x)=δ(x)dx=δ(2y)d(2y)=(1/2)δ(y)2dy=δ(y)dy=dδ_0(y)
よって
f(0)=∫_Rf(x)dδ_0(x)=∫_Rf(2y)dδ_0(y)=f(0)
x=y-1とするなら
dδ_0(x)=δ(x)dx=δ(y-1)d(y-1)=δ(y-1)dy=dδ_1(y)
f(0)=∫_Rf(x)dδ_0(x)=∫_Rf(y-1)dδ_1(y)=f(0)
そもそも
変数変換で値が変わらないように測度が対応するからこそ積分の変数変換と呼ばれるのだよ
x=gIy)という変数の対応でdx=g'(y)dyなのだから
これで積分が変わらないように測度が対応するのが理の当然

この馬鹿の存在意義は何？

>>237
煽りたいんだろうけどつまんないから消えてくれないかな
自分の存在価値を認識していないからこそ居座ってるんだろうけど

>>236
それはどの本に書いてある？

>>236
消えろ

>>236
こいつのヤバさは、他人の書き込みを読まない上に、妄想全開の俺理論を自信満々に書いちゃうところ
誰も聞いてないのに唐突に言霊とか占星術とかの話を仕出すヤバい奴に似ている

>>241
下らない奴だな
感心するよ

>>236
話が噛み合ってない
野球の話をしているのに、「オフサイドというルールがある」とか言い出してるようなもん

>>225
>任意の測度を微分形式の言葉に書き直せるのか
できるように書くことはできる
ディラックのδ関数がまさにそれ
F(D,f(x))=∫_Df(x)dF=∫_Df(x)F'dx
みたいに書くだけ

>>243
アホかね
積分の変数変換で積分値が変わっちゃそりゃ変数変換とは呼ばない
これが根本原理なのだよ
俺はただそれだけ言っているに過ぎない
測度の方が対応せねばならないってだけ

>>245
自分が会話できてない自覚ある？

>>245
> アホかね
鏡に向かって言ってんのか？

"話が噛み合ってない"んじゃなくて、明確に"間違っている"んだよなあ……

そもそも誰も

「変数変換で積分値が変わる」

なんて言っとらんがな

>>249
理解できて何より
だから測度側が対応せねばならないわけ

>>250
わかったから、もう書き込まないでね

はぁ
必要なら書き込むしそうでなければ書き込まないというだけ
当たり前の理の当然でしょ？

>>241
よほど悔しかったようだなｗ

|ｧﾋｨﾝ!
|=3

>>227
取れるなら一通りしかないのは明らかだが、取れるのかな？

φ: V → Uで変数変換したときに

∫_U f(x)dx = ∫_V f(φ(y))ψ(y)dy

の形のψ(y)が存在するかどうか？

∫_V f(y)ψ(y) dy

を内積<f, ψ>のように考えて、リースの表現定理（ https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E5%AE%9A%E7%90%86 ）などを使って示すことになると思う
だから、fにも自乗可積分などの条件を課すことが必要そう（MがコンパクトならOK？）

>>178
微分形式を考えるのは、積分のためではない。
だから代数多様体でも余接ベクトル空間を考えるのが役に立つ。
積分との関係は、ルベーグ積分のときのみうまくいき、ルベーグ測度以外ではうまく行かないのはあなたの言うとおり。

そのとおり
積分のための微分形式ではない
微分形式のための積分なのだ

知ったかぶったことをどうしてそんなに得意げに書き込めるの？

>>258
>fにも自乗可積分などの条件を課すことが必要そう（MがコンパクトならOK？）
fに条件がいるかどうかは考えている積分の定義（測度の定義）による

発作起こしてた松坂おばさん
やっと沈静化した？

>>262
そりゃそうだろ

>>263
ここで発作起こしてたのは松坂くんではなく劣等感婆さんという別人です
松坂くんと比べると学力は圧倒的に劣等感婆さんのほうが上です

>>265
似たり寄ったりでしょ

ｄｘのｘは点ｐに座標ｘ(ｐ)を対応させる座標関数

日英翻訳にもStokesの定理が成り立つ

∫_ねぎ green onion = ∫_玉ねぎ onion

ごめん
わからない

(dy/dx)は(d/dx)yであって割り算ではない
(d/dx)は、いわゆる『導分』である

玉ねぎ最近ぐう高い

微分形式は、複素多様体や代数多様体でのリーマン・ロッホの定理に出てくる。
可微分多様体では、微分形式は、ドラームコホモロジーの定義で必要となる。

積分は難しく考えないほうがいいな
単に〈ω,D〉という内積みたいなもの
測度論は測度論であって数学ではない
応用集合論の一種だと思ってればいい
ルベーグ積分とか、それを必要とする
特殊な人間以外はやらなくてよいし

>>273
お前ルベーグ積分を知らないだろ。
積分を使う者にとって、ルベーグ積分の各種定理は非常にありがたい定理だろ。
測度論をやるのは、積分を使う者には無意味と思うよ。
だから、コンパクトサポートの連続関数の積分を拡張するというやり方で、ルベーグ積分を定義すれば良い。

>>273
>測度論は測度論であって数学ではない
>応用集合論の一種だと思ってればいい
？

知ってるとか知らないとかいうよりむしろ
ルベーグ測度は一種のハール測度だからな
ハール測度はつねに存在し本質的にひとつ

ルベーグ測度はハール測度だが
「一種の」とはどういう意味なんだ？

実数上に定義されたのがルベーグ測度という意図では
ハール測度はもっと一般の位相群の場合として

>>5
この前、読んだときはさっぱりわからなかったが
MTなんとかってyoutuberのおしゃべり聞いて
一般相対論おもい出したら理解できた。
MTなんとかって人すごすぎ。

>>158
うん。
俺は全くの独学で一般相対論に挑戦したもんだから
dxやdyをバンバン使った定理の導出がしっくりいかなかった。
それらを微小な物理量をとして使いまくってるし。
微分形式つう考え方を昨日知って、かなり納得した。
ほかのスレを読むとらさらにいろいろあるんだな。
こりゃまだまだ勉強のしがいがあるね。

http://cgi.2chan.net/m/thumb/1651219212325s.jpg

だれか日本語でたのむ

>>280
無限小解析がいいよ

>>283
それは数学界の極秘事項

>>268
おもろいやないか

微分形式
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667892304/

数学は概念の関係性を明らかにする学問。
dx,dyは無限小と見てもいいし、
線形写像と捉えてもいい。
集合論や圏論などを用いて基礎づけられ、
合理的考えることができればそれで良い。
定めたルールから逸脱しなければ良いのだ。

Total calculus

∂x ∂y=dx+dy
∂^2 xy=dx+dy

Total calculus

∂x∂y=dx+dy

∂^2ζ2)xy=dζ(1)x+dζ(1)y

∂^2ζ(2)=(dx+dy)/xy

∂^2π^2/6=(dx+dy)/xy

∂^2π^2=6(dx+dy)/xy

xy∂^2=6(dx+dy)π^-2

🍎algebra

Infinite addition of normal natural numbers
±1±2±3±4±5±6±･･････±∞≒±1/12⇔
0=0,
0=0/0,
0=±∞/0,
0=±0/±∞,
0=±∞/±∞

±1/12=±0,±∞±1/2,±1,±2,±3,±4±,5,±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12
when
-1/12⇔=0=⇔π^2/6

-1≈=π^2=e^πi ±1≈0=decimal

e^πi +1≒0⇔
→↑↓→e^πi±1←↑↓←

The type of space-time is
ζ、Γζη、ξ

0→M⇔➗⇔÷⇔2π^2


6･･････π^2
★
6･･････π^2

It is renormalizable by supersymmetry transformation.

Censoring the ζ(n) function, where n is the number of all mathematical symbolic digits used in the equation under consideration, returns the desired equation.

dxは無限小ではないだろう
無限小とか数学に必要なのか？

まずもってdxは微分形式だわな
そこから適当な測度がえられる

https://i.imgur.com/Pn9A3A0.jpg
https://i.imgur.com/8ijthNC.jpg
https://i.imgur.com/n5HME2X.jpg
https://i.imgur.com/j2XfAc0.jpg
https://i.imgur.com/cRswdQb.jpg
https://i.imgur.com/RuIeb8u.jpg
https://i.imgur.com/U0lmTMp.jpg
https://i.imgur.com/CDpljyR.jpg
https://i.imgur.com/ZSUMktp.jpg
https://i.imgur.com/Tq3wxdt.jpg
https://i.imgur.com/biKtu1J.jpg
https://i.imgur.com/IGqJwD9.jpg

地球上（簡単のため真球として）の1平方mは、事実上dsとみなせる。地面の1平方mの正方形を見て、「地球は丸いから平面からずれた曲面球面だと気にする人はいないだろう。

無限小

曖昧すぎる

無限小ってホントに存在するのか？

何を無限小と呼ぶかによる

何を以て「存在する」とするかにもよる

たしかにもにょる

生物学の微分方程式もあるけど、1個体をdxとして扱う。

「存在する」とは何か

接空間の双対空間の元。

コタンジェント　スペース

無限小だろ？
無限小って何？

無限にも階層があるわけだけども
そうすると、無限小にも階層がある？

物理の人は無限小とかいいたがるイメージ(偏見)

大学化学で、「dxはわかりやすくいうと1mol当たりの…」と説明していた先生いたが1原子・分子当たりの変化量といったほうが実態に近いかな。
1molでは微小量というには多すぎるし。もっとも1原子・分子当たりの変化は感知不能なレベルかもしれん。
生物変化数としてのdxは、人口76億人の1人分の変化・影響は微分量とみなせる、という感じかな。
親族にとっては1人の死は一大事だが世界全体への影響は微分相当量なわけで。

数学は、物理学などと違って、
SI単位というような概念はないよ。
単位があると数学にならない。

超巨大数が無限大のような性質になるな。グラハム数×グラハム数は誤差の範囲でしかない。グラハム数↑2にすぎない。

11^2を微分近似計算すると120、真値は121だから、1しか違わないのは意外。10→11は、微小変化とはいえないぐらいに、けっこう違うと思ったが。

巨大数にはいろいろな種類のものがあるし
それに応じてその逆数を考えることにして
無限小にもいろいろあることにすればいい？

dy
-----
dx

分子分母の共通のｄを約分すると y/x という間違い。

>>313
巨大数nがいくら大きかろうとnはただの自然数だし、1/nもただの有理数だよ

>>310
1の分解
あたりから数学をやり直したら？

1の分割かな？

>>316
単位を1のことだと思ったのか。
そういう誤解がないように、
わざわざSI単位という言い方をしたのだが。
m, kg, sなんて数学書には出てこないだろう。
物理単位なしでその概念を基礎付けるのが数学。

ゲージ原理も次元解析もじゅうぶん数学。

>>318
ディラックのデルタ関数みたいなカレントの理論の線積分はじゅうぶん自然単位系だろ。

>>319
物理学でも高度な数学や最先端の数学を用いるよ。
それは当たり前でしょう。
また物理学では物理単位がないと意味がないのに
対して、数学では物理単位は普通いらないよ。
実際、数学書には物理単位は
書かれていないでしょう。
超関数関係の数学書も物理単位はないよね。
例として単位をつけた例題があることもあるけど、
それは本質ではないでしょう。
数学では物理単位は関係ないんだよ。

地球上での球面の影響と公差を考えてみると、戸建住宅の床の傾き許容度は3/1000、
100mのす水平直線は地球の丸みの影響で0.8mmのずれが生じる。100mの直線加速器は
この補正が必要。しかしオリンピック100m走トラックは、高低差10cm以内が公差・長さは1/1万
なので加速器のような超精密機でない限り100ｍ直線は地球の丸み影響考慮ほとんど不要。
戸建住宅（長くて10m四方）の直線・正方形・立方体等は微積分的なdx・dS・dVと見ていいだろう。
ガウス発散定理とかも直線・直平面近似は。球体を地球サイズとして考えたらイメージしやすい。