dx dy の意味は？★２

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

ｄｘ∧ｄｙ
ｄｘ・ｄｙ
これの違いが分かる人いる？

外積と対称積

∫∫f(x,y)dxdy
この場合のdxdyは外積と対称積のどちらですか

ルベーグ測度

話を最初に戻すけど
dy/dxは分数じゃないけど分数のように扱うことができるのはなぜ？という疑問

自分なりの直感的理解を書くけどこれで合ってる？

dyとかdxとかは無限小の概念
この点がΔ表記との違い
要するに、lim(Y→0)とかlim(X→0)なので
分数自体が定義されない
∞/∞が数でないのと同じ

ただ、極限値は有限の値なので分数表記できるし矛盾なく計算できる

dxはΔxな

>>378
君はどうやら中学生みたいなのでさようなら👋

ライプニッツ記法は変数変換がなんか分数っぽく直感的にできる
ある意味では微分形式として正当化できる。

>>379
消えろｗｗ

>>380
ホントの意味は何にバッチリ書いているの？

>>382
トゥー多様体とか多様体の教科書なら載ってると思う

日本の教科書終わってるなｗ

まあ接線の傾きすら知らんアホがいるスレだしなｗ

>>382
何にでも載ってるだろ
微分幾何学べよ

まず微分作用素としての
接ベクトルの定義から

おいおい大丈夫か？
Δと微分記号で使うdは同じだと盛大に勘違いしてる奴がいるぞw しかも自信満々なのが痛いw

Δとdの使い分け
https://science.shinshu-u.ac.jp/~tiiyama/?page_id=9128

Δ は 2 つの値の「差」を意味します。
(例えば、ΔU は 2 つの状態での内部エネルギー U の差 )

差をとるときは、常に「新しい方から古い方を引く」と覚えておいてください。(中略)
dU という表記が出てくるときがあります。これは ΔU と同じように 2 つの状態のエネルギー差を表しているのですが、その差が無限小まで小さくなっていることを表しています。

初歩中の初歩ですよマジで

>>388
ニュートン記法とかランダウの記号のほうがいいの？

>>388
同じでもいいやん

>>386
大抵の本は >>390 みたいな説明が書かれていて、直感的には分かるが厳密性に欠けるんじゃね？とハテナマークが壮大につくわけで。

接線とか接平面で理解したらいいだけでは？

>>392
どの程度の厳密性を求めるかにもよるだろう

>>394
他の学問ならまだしも、数学である以上論理学に還元できるレベルの厳密さが必要だよね

論理学に還元できるレベルのことだと分かるなら
実際に厳密にそれを実行する必要はない
ラッセルとホワイトヘッドがやったことを
いちいちすべての数学でやってもしょうがない

だからって、「微小変位」みたいなのに戻れってのは抵抗感があまりにも大きすぎる。

どこがどう厳密じゃないのか一切言わないからな

ところで最近の日本人が使う「接ベクトル」という用語法は間違ってるはず

数学は論理がすべてとか言ってる奴こそ１００年前から進歩していない

>>398
微小とかが嫌だって書いているだろうにｗ

>>396
「～のことだと分かる」って日本語の意味がよく分からないんだけど

>>400
dy≒Δｙとする事ができる程の微小という事

>>397
無限小でイイでしょ？
数列なら{1/n}は無限小
超準解析持ち出す必要も無し
持ち出して来てもいいけど

>>399
数学は論理が全てではなくて、他にお気持ちとか重要なものはあるけど、それもこれも論理的正しさがベースにあってこそ

>>402-403
曖昧過ぎるｗ
超準解析使うなら、「ここの理論は普通の数学者が忌み嫌う特殊理論を使いますよ！」みたいなのをはっきりと明記して欲しい。

>>405
ワカランなら別にいいよ

だいたい書いてる趣旨を誤認してるのは読んでないからだろうシナ

>>407
何番の書き込みのことをいっているのだ？

>>397
390のどこに「微小変位」が必要？

Δx→0とあるぞ

Δxは単なる変位では？

だよね
微笑じゃない
→０の部分が微小の意と解釈できるけど
そこは無限小で

そもそもΔx→0って言葉も未定義語ではあるんだが

いずれにせよ曖昧だろｗ

極限の概念の基本的なところを
しっかり押さえていれば
全然あいまいなことはない

>>413
未定義語じゃなく、「収束する」な

普通の場合、単独では微分形式を表すし
積分記号∫と一緒のdx、dyは測度を表す

>>416
定義されてると思うなら論理式で定義を書いてみたら？
不可能だろうけど

∃δ > 0, ∀Δｘ, 0 < |Δｘ| < δ

>>419
閉論理式ワロタ
任意のδ>0に対してδ<|2δ|なので
∀δ > 0, ∃Δｘ, ¬(0 < |Δｘ| < δ)
よって偽

Δx→0が未定義じゃないとか「dxは微小変位」が厳密な定義とか言ってるやつって結局この程度の馬鹿しかいないんだよな

>>420

>>Δx→0が未定義じゃないとか

全然未定義じゃない

>>421
だったら論理式で定義を書いてみたら？
ちなみに>>419の論理式は「実数には最大値が存在する」って意味の論理式で、もちろん偽だよ

>>422
論理式の問題などではない

∃δ>0, Δx∈A，B⊂A，∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ)

>>424
今度は集合Aに関する論理式かよワロタ
A=∅ならばΔx∈Aが存在しないので偽
A≠∅ならばδ=1, ΔxはAの元, B=∅とすることで∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ)が真となるので全体も真
よってこの論理式は集合Aが空でないことと同値

で、集合Aが空でないことが何の定義になるんだよｗｗｗ

>>423
じゃあ君はどんな言語で定義を示してくれるの？

既に定義済みなので必要なし

対角線の近傍内の点

>>422
Δｘ→0はΔｘが０に近づくとき、であって近づくとは言っていない。

Δはdiagonal

>>427
じゃあどこに定義が書かれてるの？

>>429
「Δｘが０に近づくとき」の定義は？

すべてのδより大きいΔｘをとって定義できなくしても
すべてのΔｘより大きいδをとって定義をすればおｋ

>>433
意味の取れない部分が多々あるんだけど、
1) まずそれは>>432の質問に対する回答ってことでいい？だとするとそれは「Δｘが０に近づくとき」の定義と解釈することになるけど
2) 「すべてのδより大きいΔｘをとって」や「すべてのΔｘより大きいδをとって」とは「∀δ, Δx>δを満たすΔxをとって」や「∀Δx, δ>Δxを満たすδをとって」という意味でいい？だとするとそのようなΔxもδも存在しないけど

じゃあ何が存在すんだよｗ

>>435
質問の意図が分からないけど、実数には0や1が存在するよ

それよりまず>>434の質問2つに答えろよ
はいかいいえの二択なんだから

>>436
学校行って聞いて来いやハゲ親父ｗ

>>437
お前が書いた文章に関してお前がどういう意図で書いたか聞いてるんだからお前にしか聞きようがないだろ

クッサ

田舎者たち

>>377 >>388
を書いた者だけど、つくづくレベル低いスレだな
的を外した聞きかじりの用語の羅列ばかり

誰か>>377の問いかけに答えてくれないものだろうか？

バカにはむーりー。

>>441
数学的には不正確だけど、物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思う

>>443
ここは数学板

自演糞死ね！

f(x)dxが原始関数の微分dF(x)になるというのが面白い

>>444
物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思うけど、数学的には不正確、って言えばいい？

https://ameblo.jp/dance-dice/entry-12653770556.html

＞この無限小概念恐らくほぼ全ての工学者が理解しないまま使っています。博士号を取得した研究者や大学教授などに聞いても
＞「多分エンタルピーとか微分方程式の解法の操作とか本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいないと思う・・」
＞という意見をよく聞きます。そもそも教えられてないんだから分からないのも当然なんです。

そなの？ｗ

ほぼ全ての工学者というか数学科を除くほぼ全ての理工系が理解してないし理解してないことを自覚してない

>>449
そんなことないよ
むしろ素朴な概念として理解できてる
その拡張はしないってだけ

>>390が理解できるか理解できないかだろ

>>448
数学科の本だって、意味をズバリ書いた参考書はあれこれ探してやっとあるって状況なのに？

物理の人にたまによく聞かれるのは
なんで
(∂P/∂V)_T(∂V/∂T)_P(∂T/∂P)_V=-1
なのかってこと

>>452
微分形式なんて多様体論の教科書ならどれでも載ってる

>>454
意味をズバリやのに構文だけの微分形式とかｗ

コタンジェントスペース
巨旦将来

>>455
どういうこと？
微分形式が意味を持たないと思ってる？

>>457
意味なんてない！だからいいんだ！！

意味が無いのにいきなり計算規則が発生するというのは不可解ｗ

現代数学そんなんばっかりヤー

>>458
何言ってんだお前
微分形式は多様体上の共変テンソル場だろ

>>461
それ抽象的すぎて何も言っていないのと同義かと。
結局微少増分って元のアイディアがあって、その性質を突き詰めて考えるとそうなるってやつでしょ？
その結果、どうしてその計算規則が成り立つかわからんから >>448 みたいに「博士号を取得した研究者や大学教授
も本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない」という惨状に繋がっているんじゃないの？

>>本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない

それは「本当の意味で」の意味にもよるだろう

>>462
> そうなるってやつでしょ？
伝聞調に見えるけどお前自身が微分形式の定義理解して書いてる？
中身知らずにポエム聞きかじっただけで理解したつもりになってない？

基地害見参

>>464
それこそ微少増分程度の理解ですまして疑問符いっぱい状態。
というか、授業がどんどん先に進むから戻ってじっくり考えるってことができなかったし、しっかり理解できていたなら
ここでグチグチ言わんよｗ

微分形式に関して多様体論の教科書の導入部分に書かれてるようなことを1から説明してみるか

まず、流れとしてはR^nにおいての接平面だの微分形式だのの定義があって、それの拡張として多様体での定義が得られる。
以下ではR^nをn次元縦ベクトルのなす集合、R_nをn次元横ベクトルのなす集合とする。またUをR^nの開集合、f: U→Rとする。
【微分の定義】
任意に点x∈Uをとる。以下の式が成り立つ横ベクトルA∈R_nが存在すれば、「関数fは点xで微分可能」という。
f(x+h)=f(x)+Ah+o(h) (h→0)
このときAをfの点xにおける微分係数といい、f'(x)と表す。fが任意の点で微分可能ならfは微分可能といい、導関数f': U→R_nが定義される。以下fを微分可能であるとする
【R^nにおける微分形式の定義】
任意に点x∈Uをとる。f'(x)∈R_nなので以下のように線形関数df_x: R^n→Rを定義できる。
df_x(v)=f'(x)v
これが任意の点xで定義されるから、Uの元を添字にもつ線形写像の族dfを定義できる。このdfをfの外微分という。
【微分形式の直感的意味】
点p∈Uをとる。微分の定義より
f(p+h)-f(p)=df_p(h)+o(h) (h→0)
が成り立つ。逆に言えばこのような線形関数df_pが存在することが微分可能性の定義とも言える。気持ちとしては点pの近くで関数f(p+h)-f(p)を線形関数df_pによって近似できるということ。
【dxについて】
第i座標への射影(x_1, …, x_n)→x_iをx_iと書く。(多項式関数のイメージ。記号の濫用なので注意。)するとdx_iは第i座標への射影となる。特にn=1ならば(このとき一般的にx_1と書かずxと書くが)xは恒等関数なので、dxは恒等関数である。
【多様体について】
多様体とはざっくり言えば座標を一つ与えればR^nの議論に落とし込める空間のこと。なので多様体の接平面や微分形式は、座標を一つ与えればR^nの接平面や微分形式が誘導されるように定義される。詳細は自分で勉強して。

要するにdfは微小量ではなく線形関数です、という話

>>467
やっぱ微小量がいいなあ
nonstandard解析で

位相もnonstandardでmonadだっけ
アレでやった方がいいような気がする

>>467
長文書いて画面占領すれば勝ちと思ってるAhoh(アホウ)

微小量では近似的な関係にすぎないところを
厳密になりたつように改良したのが微分形式

>>467
フムフム
なるほど

>>467は>>390と全く同じなんだがｗ