dx dy の意味は？★２

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/

>>59
「接線の傾き」の定義は？

「それらしい言葉を並べておけば、他人は意図を汲んでくれるだろう」という甘え

学問には向いていない性格

わからないんですねを連呼してるひとはわからない事を恥だと思ってるんだろうな
可哀想に

微分係数dy/dxと微小量dxと微分形式dxは、全部dxの意味が違うから
本来は記号を分けたほうがいいんだろうけど、面倒だからそのまま
放置されてて同じ記号を使うから混乱してしまう人が多いのだろう
微分係数dy/dxは分数じゃないから、微小量のdxを使って(dy/dx)dx=dy
などとやったりするのは間違いなんでないか

わからないんですね

>>64
微小量dxって何？

学部生だけど、イプシロンデルタやった後の次の講義で全微分出てきて「は？」ってなったわ。
説明なしで何dxとdyを切り離してんねん
結局解析が嫌いになってひたすら代数だけやって専門も代数

解析概論にちゃんと載ってると思いますよけどね、全微分の定義は

微分形式使わないと説明できない可哀想な方にはまあ説明できないでしょうけど

解析系の数学書は代数系の人が書いた人と違って馬鹿みたいな曖昧な書かれ方したものばっか。
全称と存在を省略したまんまクソ曖昧に命題を述べても気にならない異常者の集まり。
写像の始域と終域をちゃんと書かないのもくっそいらつく。

わからないんですね

正直解析まじでなんもわからんわ
代数に関しては公理的集合論に立脚した定義全部書き下せるけど、解析に関する定義でそれをやることは多分不可能。

f:R^2→Rを考える。

∃x,y∈R ∃r ＞0 ∀(Δx,Δy)∈B(0;r)に対して
f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy+o(√(x^2+y^2))
が成り立つとする時、fは(x,y)において全微分可能であるという。
ここで、B(0;r)⊂R^2は原点を中心とする半径rの開近傍を表す。

このとき、df(x,y,Δx,Δy)= X(x,y)Δx+Y(x,y)Δyをfの全微分と呼ぶ。

↑が一番初等的な全微分の定義です。
∃とか∀とかちゃんと書きましたよ
わかりましたか？

df:R^4→Rですね

せっかくレベル高い話で始まったのに結局ここに落ち着くのかwwwww

だーかーらー、微分形式はなぜ微分がdy÷dxというように割り算の記号を用いて書かれる習慣があるのかという疑問の答えにはなり得ないんですよ

何度言えばわかるんですか？

微分形式が念頭にある限り、微分が微分「商」と呼ばれたり、dy/dxというように分数使われてる理由は、不明、と思考停止するしかありません

ですが、これはあまりにも歴史的な流れを無視して形式にこだわりすぎていて、回答になっていません

そこをうまく説明できないから、>>67みたいな人が大量発生するんですよ？？

だーかーらー教科書嫁
俺様解析学を他人に押し付けるな

じゃ早く説明してください？？

なぜdy=y’dx、dy/dx=y’

このようにあたかも分数のように取り扱うことができるような記号体系になっているのか

ビブンケイシキガー、の人からは一切説明がないですね？

偶然の一致、以外に説明できるものならしてみてください？

私は微分形式知ってますからね？

微分形式は多様体上に定義された余接ベクトルバンドルのことです

それを知っているからこそ、微分形式はなぜdy/dxという割り算が使われるのかという疑問の答えにはなり得ないことを知っています

古典の曖昧な記述を無理やりな解釈で捻じ曲げて厳密だと言い張るのって、古典の擁護なんかでは全くなくて、むしろ曖昧な基礎づけしかなかった時代にありながらも目覚ましい成果を上げてきた過去の数学者達に対する侮辱でしかないんだよね

知ってるわけないwwwww
そんなレベルの話してませんがな
教科書といえば解析概論一本やり
それで微分形式の議論できるわけないやろ
アホ〜wwwwwwww

>>80
いやだから、>>72のどこが曖昧なんですか？

ビブンケイシキガーは批判するばかりで質問を棚上げするばかりですね？

>>81
文句があるなら質問に答えたらどうなんですか？
>>67さんに納得できるように説明してみてくださいよ

ほら、はやくドラームコホモロジーでもポアンカレの補題でも使って説明してください？

>>82
教科書も読まんで数学を語ろうとしてるアホにからかう以外の使い道あるわけないやろ
アホ〜

↑ビブンケイシキガーはこのように他人を批判するばかりで、数式の一つも出てきた試しがありませんね？

>>72

∀f:R^2→R∀x,y∈R(
fは(x,y)において全微分可能
⟺
∃r ＞0 ∀(Δx,Δy)∈B(0;r)(f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy+o(√(x^2+y^2)) )
)

ちゃんと閉じた論理式として定義するにはfにも全称記号つけるべきだしxとｙは存在ではなく全称だと思う。
ちなみにこのレスは悪意で書いてるわけじゃない。

微分形式ではdy/dxは微分形式の割り算として解釈することはできない

↑ただこれだけの話なのになぜ認めないんでしょうね？
意味がわかりません

>>85
数式ってwww
解析概論が人生で読んだ1番難しい本の人間に理解できる数式なんぞないわwwwwww

>>88
悔しかったら数式書けばいいだけの話ですよね？

ほら、はやくしてくださいねー

>>86
でわかったのかわからないのか聞いてるんですけど？

答えがないということはわからないということですね

わからないんですね

∃x,y∈R ∃r ＞0 ∀(Δx,Δy)∈B(0;r)に対して
f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy+o(√(x^2+y^2))

この時点でまともでないとかはひとまず置いといて、解析概論の記述を無理やり
df(x,y,Δx,Δy)= X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy
と解釈して解析概論は厳密だったと言い張るのが侮辱ってことね

>>91
わからないんですね

>>89
悔しくないから書きませーんwwww

>>93
わかるなら書けるはずですね

ということは、書かないということはわからないということです

わからないんですね(笑)

>>94
わかりませーんwww

>>95
わからないんですね

日本語の読解が不得手なようで

>>97
わからないんですね

ID:vbbXRh64さんの住所がわかりません
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1642584004/

関連スレを立てました

ID:h0H/Iv3uさんの本名がわかりません
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1642584063/

こちらもよろしくお願いします

書いてあることを読み取って、書いてないことを読み取らない読解力は数学の学習において重要なことだけど、それがないとこうなるんだね

>>101
わからないんですね

>>101
私はあなたの住所がわかりましたよ

草
数学板こっわ

>>104
今から電話してもよろしいでしょうか？

一人で寂しいからして欲しい

>>106
家に行って慰めてあげましょうか？

うちでかいホワイトボードあるからゼミしよう

>>108
住所を教えてください
電話番号まではわかりましたけど住所がわかりません

かけてきて

>>110
住所がわかるなら書き込めるはずですね

書き込まないということはわからないということです

自分の住所もわからない人が数学なんてできるわけないですよね？？

電話番号がわかるならかけられるはずですね

かけてこられないということはわからないということです

11桁の数字を打ち込むことすらできない人が数学なんてできるわけないですよね？？

〜人が数学なんてできるわけないですよね？？
って言い回しいいな。日常生活でも使ってくわ

>>104
これ(ID:Cvmwu/OB)が劣等感婆さんという哀れな生物です
数学板に常駐するキチガイの一人です

なんか知らんけど、急にレス伸びてるね

>>66
微小量dxは、εδ論法でいうところの
δみたいなもので、比較的に小さな値を表す
dxでなくδxと書いて区別するべきと思う
微分係数dy/dxは分数ではなく一つの記号
(dy/dx)δx≒δyであってイコールではない

もしもdxとdyが無限小で、dy/dxを本当に
分数だと思えば、(dy/dx)dx=dyになるね

物理で出てくるΔ記号みたいなものと理解した。

まぁスレが伸びても話はいっこうに進まんのだけどな
そもそもdxとかdxが何かなど議論する余地なんかないし

なんか数学というよりかは数学史の話のような気がする。

>>104->>110
|Σ0
|; ∆)ﾟ ﾟ

…未亡人ｯﾁｬﾏ…新ｽｨｨ恋活…?…

>>111
…恋ﾉ力…?ﾛﾝﾘ-ﾛﾝﾘ~飛躍的…
飛躍的ﾁﾞｬﾅｨ?
　。○
゜

>>104違ｯﾀ!…ｶﾝｹ-ﾅｶｯﾀ!
ﾌﾟｯﾋﾟ~!

>>111
> ID:Cvmwu/OB
つまんない人には数学すらできるわけないですよね？？

>>58の答え教えてほしい

多様体上の積分における変数変換公式は、外微分と外積代数の性質から来ていて、それが上手いこと重積分の変数変換公式と整合している
もし、R^nの測度としてLebesgue測度以外をとったら、微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか知りたい

よくわかりませんけど、微分形式としての体積形式を適当に変えればなんとかなりませんかね？

多様体上に定義される体積形式は一意に定まらないはずです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E7%A9%8D%E5%BD%A2%E5%BC%8F#%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E3%81%A8%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82

ここら辺みてみると、どうやら体積形式を用いて一般の測度を再現することはどうやら一般には難しそうですね

>>122
>微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか
意図していることが分からないから何とも言えないが
軽量は後付だからそっち側をどう定義するか考えてたら良いだけじゃないの？

わからないんですね

ビブンケイシキガーさん、出番ですよー

計量はリーマン多様体にしか定義されておらず、物理学で使われる√g云々は一般相対論に都合がいいようにという物理学の要請で定められた、無数にある体積要素の一つに過ぎない

そんなことすら知らないような方が普段ビブンケイシキガーと言っているのは滑稽ですね(笑)

>>125
こいつ最高にアホ

コンパクト多様体M上なら、リースの表現定理を使って、Mの体積形式ωからM上の測度μが一意に定まる。

f → ∫_M fμ := ∫_M fω

だからまあ、測度を取り替えれば、ωも変わる

それができない、とウィキペディアに書いてあります

どういう測度が体積形式からくるか

各チャートR^n上の測度を取り替えたとき、M上の測度が定まるかどうか

は知らない

>>129
後付って分からないのか・・・

>>133
どういうこと？

>>133
もういい大人なんだから

「それっぽいことを言っておけば、聞く人は意図を汲んでくれる」

という思考、やめた方がいいよ？
数学をやるなら尚更

>>135
ハイハイどもすみませｎ

この（前）スレでたびたび出てくる「双代空間」ってのは、要するに

通常空間にたいして、それにぴったりひっついているような別の空間、例えば電場の空間とか磁場とか…

みたいなのを想定するみたいなカンジ？？
線形性を保持しているとかの性質があるような条件が必要で…

>>137
＞双代空間

双対はそうたい(そうだい？)ではなく「そうつい」と読みます……簡単に言えば与えられた空間上の関数全体からなる空間です
電場や磁場のように「(物理的な)ベクトル場の作用している空間」ではなく、3次元空間に対してその線形関数全体のなすベクトル空間のことです
線形性を保持というのは意味がわかりませんが、ベクトル空間の双対空間はベクトル空間になるので、その上の線形写像を考えることはできますね

双対の明確な定義はないけど、入れ替えても同じなので、片方を証明すれば、もう片方も証明できる

>>137
たとえ話的に言うとベクトルに対する物差しみたいなのが双対ベクトル
双対ベクトルはベクトルを受け取ってそのベクトルに対してある種の量を返す
例えばベクトルのx成分を測ってくれる物差しは双対ベクトル
こういう物差し全体を双対空間(dual space)といってV^*とか表記する
(但し物差しで測られるベクトル全体(=ベクトル空間)をVとした)
物理的な例でいえば、一定の力Fとの内積<F,->は変位ベクトルrを測って力Fがした仕事Wがどれぐらいか教えてくれるので双対ベクトル
他にも一定の電場Eとの内積<E,->が変位ベクトルrに対して双対ベクトル(測定結果は電位差)だったり色んなところに出て来る
双対ベクトル(covector)の図示に関してはこれが分かりやすい
https://www.youtube.com/watch?v=LNoQ_Q5JQMY

>>137
k上のVに対してV*=Hom(V,k)

Hom_k(V,k)か

測度のようなちょっと難しい話だとwikipedia以上のことは出てこないのに、双対空間のような簡単な話題になると沢山のレスが即座に着くんですね

またおまえかｗ

質問の内容がはっきりしてると答えやすいってのはありそう

>>137
ゴミ

>>137
あなたに必要なのは
思い込みを捨てること

歴代の数学者が連綿と紡いできた学問体系を
自身の瑣末な知識の類推と捉えないこと

数学を理解するには
一字一句丁寧に数学書を読むしかないんです

概念の定義を正確に理解する
具体例を計算する
証明の行間を補う
ある性質を示すために、何の定理を使ったのか
その仮定と結論は何か、本当に仮定の条件を満たしているのか
ある条件がいかに証明に用いられるのか、その条件を除いたら反例を作れるのか
………

そういったことを丹念にこなして初めて数学は理解できるのです
時には別の文献に当たらねばならぬこともあるでしょう
有名な本であっても致命的な誤植や誤りがあることもあるでしょう
しかし、それは普通のことです
学術書は、それらの障害を乗り越えられる人を対象に書かれています

学問とは
試験のための知識を詰め込むことでも、他人にひけらかすための知恵を身に付けることでもありません
その学問が研究している対象それ自体を理解し、その深い洞察を前提として、独自の観点・問題意識から対象を分析・再体系化することです

あなたには学問をするための心構えがまるで足りていません
いつまでも親鳥に餌を運んでもらう雛のように、受動的に教えを乞うています

あるいはこう考えているのかも知れません
数学は受験勉強のように学ぶべき範囲が決まっていて
それを手取り足取り教ええくれる教材や学校があって
資格試験のようなものに合格しさえすれば数学を修めたと言える、と

そういう考えは今すぐに捨てなさい
学問とか以前の問題です
こんな考えを持っている人間は、社会で生きていくための基礎ができていません

アホな議論を、見て、
まず、微分可能とは、局所的に線型写像で近似できることであること、を確認する必要がある。
近似線型写像の定義域は、接ベクトル空間だろう。
実数値関数の近似線型写像は、接ベクトル空間を定義域とする実数値線型写像となる。
これは、接ベクトル空間の双対空間の要素（余接ベクトル）である。
接ベクトルは実体が解りにくいが、余接ベクトルは実数値関数の近似線型写像として実体を持つ。
で、次のように定義すればよい、
実数値関数の近似線型写像を余接ベクトルという、余接ベクトル全体は自然に加法とスカラー倍が定義出来る、これを余接ベクトル空間という。
代数多様体においても、類似の方法で、余接ベクトル空間を定義出来る（特異点以外）。

>>148
上記で、余接ベクトルが微分形式である。

なあ
なぜ、ごく初歩的な教科書を読めば、誤解の余地のない説明がされているものを
わざわざ自己流に言い直すんだ？

馬鹿なのか？

分かりやすく（少しぐらい厳密さを欠いたとしても）言い直そうと思っているとか？

微分形式は単なる余接ベクトルではないんだろ？

>>150
それよりも読点多すぎて馬鹿っぽく見える

"dxは微小体積"派の人は、
χ_ℚをℚの特性関数として

∫_[0, 1] χ_ℚ(x) dx

は、どのように解釈するのですか？積分不可能？

また面白そうなネタ持ってきましたね

>>154
そんな派閥ねえよ

積分でなくdxが体積とか何その派閥
誰が言い出したんだよ

>>147
微分形式は物理学でも便利な道具なんだが？。

なんか中途半端に解析概論ぐらいで厳密だと思って大上段からご講釈垂れられると思って偉そうにするほうがお門違い。

でもビブンケイシキガーさんは、>>122のようなちょっと突っ込んだ微分形式の議論に対してはまともなこと書き込めてなかったですよね

質問の意図が不明瞭だからな
「済む」って何だよ

ビブンケイシキガーって誰よ
そんな奴おらんよ？