x^2+y^2=(y+3)^2が互いに素な整数解を持つならばx^2+y^2=(y+1)^2は整数解を持つ
が成り立たないから証明は間違いでしょ

x^2+y^2=(y+3)^2は、互いに素な整数解を持ちません。
が、他の組み合わせができます。