(1)が整数解を持つならばx^2+y^2=(y+2)^2やx^2+y^2=(y+9)^2は互いに素な整数解Aを持つ
(1)が整数解を持つならばx^2+y^2=(y+3)^2は互いに素な整数解Bを持たない
のどちらもあるから証明は間違い

x^2+y^2=(y+2)^2の2は2乗数ではないので、互いに素な整数解を持ちません。
但し、x,yを入れ替えて、2乗数になるならば、互いに素な整数解を持ちます。