>> (1)が整数解を持つならば、必ず有理数解を持つので、
の部分がよく分かりません。

n=2の場合の例。
3^2=5^2-4^2
5^2=13^2-12^2
15^2=17^2-8^2

x^2+y^2=(y+1)^2
x=4=8/2
y=15/2
z=17/2