「整数比になおすと、8:15になります」のような解では「(1)が整数解を持つならば、必ず有理数解を持つので」
は成立しないから結局「x,yは整数とする」が間違ってることに変わりない

(1)は整数解と有理数解をもちます。
(1)が整数解を持たないならば、有理数解も持ちません。