>>105-107
どうも、スレ主です
そこまで分かっていて、なんで誤解しているのかね？

さて、ここから始めよう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%A5%B5%E9%99%90
プリューファー群
プリューファー p 群は円周群 U(1) の部分群であって n がすべての非負の整数 Z+ を走るときのすべての 1 の pn 乗根からなるものと同一視できる
Z(p∞) の構成
Z(p∞) ＝Z[1/p] /Z
（ここで Z[1/p] は、分母が pの冪であるようなすべての有理数からなる群、群演算は有理数の加法、を表す）。
(引用終り)

これを使わせてもらう。μ_nは、1のｎ乗根の成す乗法（積）の巡回群>>105 である
1のｎ乗根を ζn＝ e^(2πi(m/n)) m,n∈N として
m/n≦1 としてよい
（もし、m/n＞1ならば、その整数成分は、例えばn'∈Nとして、e^(2πi(n’))＝1だから。ここに、商 /Z の意味があって、整数成分はe^0＝1と同じく乗法単位元を成す）

くどいが、0/n,1/n,2/n.・・,(n-1)/n で、n/n＝1となって0に戻る
こうして、1のｎ乗根の成す乗法（積）の巡回群は、その指数のm/nに因子 2πi が掛かって、商 /Z の作用する加法の巡回群になる

さて、1のｎ乗根よりなる 有理数 m/n≦1 の集合で
（これを仮にZ(1)とする）は、繰り返すが、商 /Z の作用する加法による巡回群の集合である
例えば、積 e^(2πi(m/n))・e^(2πi(m'/n'))＝e^(2πi((mn'+m'n)/nn')) となる
（(念押し)1のｎ乗根の乗法が、指数の加法になる（また 商 /Z の作用の作用で m/n≦1 としてよい ））
（群であるための 逆元とか単位元の存在は、自明なので省略）

Z(1)で、商 /Z の作用はずっと残ると思うけど。逆極限を考えたとしてもね
確かに、Zから出発して、Z＾（Zハット）を考えた場合は、0以外の数の加法で0になることはない
しかし、出発点が違うよね

1のｎ乗根の乗法から その指数の加法群を考えたときに、くどいが、商 /Z の作用があるよ（上記 プリューファー群に同じ）
加法の巡回群ベースだけど、一方はZ/nZで、もう一方（上記のZ[1/p]/Zと類似）

あなたの主張： ZとZ＾（Zハット）との関係全てが、Z(1)とその逆極限にも持ち込まれる
の数学的な根拠がない
出発点の差は、逆極限では消えないと思う