>>284 補足

まず、前振り
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4
円周群
周群（えんしゅうぐん、英: circle group; 円群）とは、絶対値 1 の複素数（単位複素数）全体（つまり複素数平面上の単位円） のなす乗法群のことである。記号で
T ={z∈ C :|z|=1}
と表し、(T, ×) はアーベル群 C× の部分群である。
円周群は複素 1次ユニタリ行列全体のなす群 U(1) と見ることもできて、これは複素数平面上で原点中心の回転として作用する。
円周群は角 θ による媒介変数表示が可能で、写像
θ → z=e^iθ =cosθ +isinθ
は円周群に対する指数写像となる。
抽象群構造
本節では位相構造を考えない単に代数的な群としての円周群の構造について扱う。
円周群 T は可除群である。そのねじれ部分群は任意の正整数に亙る 1 の冪根全体の成す集合として与えられ Q/Z に同型である。可除群の構造定理と、選択公理を用いれば、T が Q/Z と適当な数の Q のコピーとの直和に同型となることが分かる[要出典]。このときの Q のコピーの数は（直和群の濃度が正しくなるためには）連続体濃度 ?? でなければならないが、Q の連続体濃度 ?? 個のコピーの直和は R に同型（R が Q 上の ??-次元ベクトル空間であるのと同様）なのだから、代数的な群の同型
T ＝〜 R ○+(Q/Z) （○+は直和記号）
を得る。同様にして、同型
C^ｘ ＝〜 R ○+(Q/Z)（○+は直和記号）
も証明できる（C× もまた加除アーベル群で、そのねじれ部分群は T のねじれ部分群と同一であることによる）。

　また>>261より
https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_integer
Profinite integer
Z＾＝lim← Z/nz＝Πp Zp
(引用終り)

これで 対応としては、下記か
実数　　R 　　　　　 → Q　　→ Z 　　→ Z/nz → Z＾
円周群 R○+(Q/Z) → Q/Z → Z/Z → Z/nz → Z＾(1)