>>300 補足
実数　　R 　 　 → Q　　→ Z 　　→ Z/nZ → Z＾
円周群 T=R/Z → Q/Z → Z/Z → μn 　→ Z＾(1)
ここで、簡便のために θ → z＝exp(2πiθ）と、因子2πiを入れておく
記号の濫用で、上記の前半は
円周群 T=exp(2πiR/Z) → exp(2πiQ/Z) → exp(2πiZ/Z)
と書ける
　>>263より
Z（整数環）→ 逆極限 Z＾＝lim← Z/nz
だが、Zの対応物を 「Z(1)仮」と書く
(引用終り)

このZ(1)仮（>>263）は、いま考えると
Z(1)仮＝exp(2πiQ/Z) （つまりはQ/Zの同型）だな

そして、∪ Z/nZ （集合和）として、（記号の濫用で）Z/nZ ∈∪ Z/nZ と書ける
一方、∪ μn （1のｎ乗根の集合和）は、群でもある
例えば、5乗根 ζ5と、7乗根 ζ7との積
ζ5・ζ7＝exp 2πi(1/5+1/7)＝exp 2πi(12/35)となる

これと同様に考えて、1 mod 5と1 mod 7 との和を、12 mod 35 と定義すれば
∪ Z/nZ も、加法群 になる

∪ μn は、>>286 円周群の「そのねじれ部分群は任意の正整数に亙る 1 の冪根全体の成す集合として与えられ Q/Z に同型である」（円周群より https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4 ）
そして、>>297 "In the same way that the real numbers are a completion of the b-adic rationals for every natural number b > 1, the circle group is the completion of the Prufer group for b, given by the inverse limit lim ← Z/b^nZ."
で、”for every natural number b > 1”なので
∪ the Prufer group for b（集合和）だ
これの”a completion of the b-adic rationals for every natural number b > 1”が、円分物 Z＾(1) ってことでしょう

円周群 T=R/Z は、もともとは 有理数Qの有理コーシー列による（通常の）完備化から得られるものだが
Z＾での ”a completion of the b-adic rationals”は、一味違う完備化で
円分物 Z＾(1) も、こちらの完備化だね

そして、繰り返すが ∪ μn つまり Q/Z の同型群の 逆極限による 完備化（もどき）として、円分物 Z＾(1) がある
∪ μn ＝∪ the Prufer group for b でもある