>>35 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E5%8C%96_(%E7%92%B0%E8%AB%96)
完備化 (環論)
特に環Rが非アルキメデス距離について距離空間であるときは、距離空間としての完備化と環としての完備化は一致する。
一般的な構成
E を部分群の減少フィルター
略
をもったアーベル群として、（このフィルターに関する）完備化を逆極限
E＾＝lim ← （E/FnE）
として定義する[1]。
(引用終り)

ここでも、完備化からみで ＾（hat）記号が使われている
ところで、有理数Qをコーシー列で完備化すると、実数Rになる

では、完備化したらQはRに含まれないのか？
有理数Qを表すコーシー列として、存在する
有理数Q q＝m/n とは姿を変えた コーシー列として、存在する

profinite 完備化も同じように考えて良いんじゃね？
つまり、1 の n 乗根と同一視できるものが、Z＾(1)には含まれているんじゃないかな？
そこを、いま調べている

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先の方で殆ど値が変化しなくなるものをいう。