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つづき

P9
(2.3.12) 命題. A を可換環, C が A 加群の圏 (A-Mod) の場合を考える。
略
P10
(2.4.7). 次に数論において非常に良く使われる Zb および p 進整数環 Zp について少し詳しめに説明する。ま
ず位相群や位相環についての説明から始める。
(2.4.8) . G が位相群 (topological group) とは, 群であって位相空間でもあり, かつ演算 G × G →G ; (x, y) → xy および逆元を取る写像 G → G, ; x → x^-1 が連続写像であるものを言う。(G × G には積位
相を入れる。) また, 位相群を対象とし, 連続準同型を射とする圏を位相群の圏という。

P11
G を位相群, e を単位元とするとき, x ∈ G
に対し, U が e の開近傍であることと, 同相写像 λx : G → G ; y → xy による U の像 xU が x の開近傍であ
ることとが同値なので, 位相は単位元の近傍から決まる。
(2.4.9). この文章では環と言えば積についての単位元を持つものとする。A が位相環 (topological ring)
とは, 環であって位相空間でもあり, かつ加法 A × A → A ; (a, b) → a + b と積 A × A → A ; (a, b) → ab が
ともに連続写像であるものを言う。位相環を対象とし, 連続準同型を射とする圏を位相環の圏という。ここで
は (TopRng) と書くことにする。位相群の場合と同様, 位相環の位相は 0 の近傍から決まる。

(2.4.10) 補足. A の単数群, つまり可逆元全体のなす群 A× は A の部分空間としての位相を入れると必ずし
も位相群にならない。これは A× → A× ; x → x^-1 が必ずしも連続ではないことによる。

(2.4.11) 例 (Zb). 自然数の集合 N に n | m なる関係で順序関係を入れ, ポセットとみなす。位相環の圏
(TopRng) における N 上の逆系 (Z/nZ)n を考える。ただし n | m のとき, φnm : Z/mZ → Z/nZ は a ∈ Z の
Z/nZ への像を [a]n と書くなら φnm([a]m) = [a]n で定義する。これは n | m より well-defined である。逆系
のイメージは次の通り。
(この図はたいへん分かり易く面白いが、５ｃｈの板には描けないので直接みること)

つづく