>>434
つづき

(1) 0 ∈ Z＾ の近傍として, {nZ＾ | n ∈ N} が取れる。
(2) Z＾ は Hausdorff, コンパクト, 全不連結な位相環。
(3) 自然な射 Z → Z＾ は単射。

P12
(2.4.12) 命題. m ∈ N に対し, Z＾/mZ＾ ? Z/mZ.
(証明). 以下, Z＾ を lim←-Z/nZ ⊂Q
Z/nZ と同一視して考える。
略

P13
(2.4.17) 例 (p 進整数環). p を素数とする。このとき, N に通常の大小関係による順序関係を入れ, ポセット
とみなす。位相環の圏 (TopRng) における N 上の逆系 (Z/p^nZ)n を考える。逆系のイメージは次の通り。
略
Z＾ の時と同様, 各 Z/p^nZ には離散位相を入れる。この逆系の逆極限は
lim←-Z/p^nZ =n(xn) ∈YZ/p^nZ∀n, m ∈ N, n ≦ m なら φnm(xm) = xno
と, φn : lim←-Z/p^nZ →ΠZ/p^nZ → Z/p^nZ の組 (lim←-Z/p^nZ, φn) として構成できる。その元は次のようにイ
メージできる。
略
この位相環を
(2.4.17.1) Zp := lim←-Z/p^nZ
と書き, p 進整数環と呼ぶ。Z＾ のときと全く同様に次が示せる。
(1) 0 ∈ Zp の基本近傍系として, {p^nZp | n ∈ N} が取れる。
(2) Zp は Hausdorff, コンパクト, 全不連結。
(3) 自然な射 Z → Zp は単射。
Zp は整域である。実際, x, y ∈ Zp = lim←-Z/p^nZ が共に 0 でないとする。xn = φn(x), yn = φn(y) と書く
とき, m0, n0 を xm0≠ 0, yn0≠ 0 となる最小の自然数としよう。すると, m ≧ m0, n ≧ n0 に対し xm は
Z/pmZ の中で pm0 の倍数ではなく, また yn は Z/p^nZ の中で p
n0 の倍数ではない。このとき n > m0 + n0
に対し, φn(xy) = xnyn は Z/p^nZ の中で p^m0+n0 の倍数ではないので, 0 ではない。よって xy ≠ 0 であるか
ら, Zp は整域である。Zp の商体を Qp と書き, p 進数体と言う。

つづく