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つづき

1.2 層係数コホモロジー再考
エタールコホモロジーを定義するための大まかなアイデアは，位相空間に対する
コホモロジーの層による定義をスキームに適合するよう変形するというものであ
る．本小節では，このアイデアをより詳しく理解するために位相空間の層係数コホ
モロジーについて再検討することにする注2．

P15
1.3.2 代数曲線のエタールコホモロジー
ここでは代数曲線のエタールコホモロジーの計算を紹介しよう．k を代数閉体と
し，X をk 上固有かつ滑らかな連結代数曲線とする．まず，Gm 係数のエタールコ
ホモロジーは次のようになる：
定理1.22
Hi(X,Gm) について次が成り立つ：
H0(X,Gm) = k×, H1(X,Gm) = Pic(X), Hi(X,Gm) = 0 (i ≧ 2)．
ここでPic(X)（X のPicard 群）とは，X 上の直線束の同型類全体に加法をテン
ソル積で定めて得られるアーベル群である．

P16
定理1.22 より，X のZ/nZ(1) 係数コホモロジーを計算することができる．
定理1.23
n ≧ 1 をk で可逆な整数とするとき，Hi(X, Z/nZ(1)) について次が成り立つ：
H0(X, Z/nZ(1)) = Z/nZ(1), H1(X, Z/nZ(1)) = Pic(X)[n],
H2(X, Z/nZ(1)) = Z/nZ, Hi(X, Z/nZ(1)) = 0 (i ≧ 3)．
ここで，第一式右辺のZ/nZ(1) はk 内の1 のn 乗根のなすアーベル群である（k
は代数閉体なので，非標準的な同型Z/nZ(1) 〜=Z/nZ がある）．また，Pic(X)[n]
はPic(X) →n倍→ Pic(X)の核である．
(引用終り)
以上