>>210
>exp x＝e^xが定義とか言っちゃう高卒の人には
>exp xのべき級数展開とか導けないよなあ

導けるよ、例えば下記だ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
指数関数
指数関数 exp(x)を一意的に定義するための特徴付けは、同値な方法がいくつも知られている。
冪級数
exp(x)＝Σn=0～∞ (x^n/n!)＝1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・
指数関数のテイラー級数そのものである。
微分
底がネイピア数 e、すなわち
lim h→0 (e^h-1)/h ＝1
である指数関数 ex の導関数は ex 自身となる。
解析学においてはこの性質を満たす関数として指数関数を定義する。つまり、指数関数 exp(x) とは、
1．exp(0)＝1
2．(d/dx-1)exp(x)＝0
を満たす関数のことである。この関数は代数的な定義で示される性質を満たし、両者は一致することが示される。
(引用終り)

上記の通り
y＝e^xとして
微分を考える
dy/dx＝lim Δx→0 (Δy/Δx) ＝lim Δx→0 ((e^(x+Δx)-e^x)/Δx) ＝lim Δx→0 ((e^xe^Δx)-e^x)/Δx) ＝lim Δx→0 {e^x(e^Δx-1)/Δx }
となる
ここで、(Δx-1)/Δxに注目すると、lim Δx→0 (e^Δx-1)/Δx ＝1 となるように、定数 e を定義すれば良い
即ち
dy/dx＝e^x＝yとなり、y＝e^xは微分しても元の関数になる性質を持つのである
よって、y＝e^xをテーラー展開すれば、上記と同じく
y＝Σn=0～∞ (x^n/n!)＝1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・
が得られる

よって
exp x＝e^x と定義するとして、
exp xのべき級数展開 exp(x)＝Σn=0～∞ (x^n/n!)＝1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・ が導ける