>>571-573
どうも、スレ主です
　>>571が、>>569の179氏かな

log(z)の定義>>179 は、間違っていないが、完全ではない
また
”例の2つの積分路はホモトープではないよ だから値は異なる”
は、log(z)の無限の多価性の一部が発露しただけ

https://eman-physics.net/math/imaginary05.html
EMANの物理学 > 物理数学 > コーシーの積分定理
複数の値を返すような関数は「多価関数」と呼ばれる.ところが「複素平面に拡張した対数関数」は二つや三つどころではなくて,一つの変数の値に対して無限個の値を返すのである.このような性質を「無限多価性」と呼ぶ.
実数の範囲だけで対数を考えていた時にはこの無限多価性に気付かずにいたのだ.もちろん実数の範囲であっても同じことが成り立ち,例えばこれまではlog_e (1)=0だと考えていたわけだが,本当は
log_e (1)＝2nπi (n：整数)
のようになっている.
(引用終り)

のように、そもそも 実数ではlog_e (1)=0だが、複素数では多価になる ところから見直して、無限多価性を処理しておかないと、いけないって事
そのためのスタンダードが、リーマン面の導入だ
詳しくは、https://math1.edu.mie-u.ac.jp/kanie/rieman.htm （https://math1.edu.mie-u.ac.jp/kanie/ 蟹江幸博）>>502をご参照

無限多価性を、リーマン面の導入で処理した上で、>>569のように
　>>179の定義 log(z) ＝ ∫1～z 1/t dt （tで1からzまでの線積分）を使うのは良い
一価になるから。だから、>>179で「終わりです」って書いたことが根本問題で、
リーマン面の導入が抜けている

リーマン面を導入して、多価性をした上でなら
z＝re^iθ (0<=θ<=2π) などとして
積分路を、t=1→t=r→t=re^iθ と二段階に取って
log(z) ＝ ∫1～z 1/t dt＝∫1～r 1/t dt +∫r～z 1/t dt
前半は、θ＝0で、 ∫1～r 1/r dr ＝ log r （下記 実数の1/xの積分公式より）
後半は、半径rの円周上の積分路として、>>569同様 ∫0～θ i dθ ＝ iθ となる （詳しくは 上記や>>509のEMANの物理学をご参照 ）

よって、log(z) ＝log r + iθとなる

つづく