[8]の不等式(2)から(3)を導く過程で質問です
(2)の左の不等式は、f(x)=log(x)がその定義域x>0で２階導関数が負であることから言える次の命題A(もしくはその類似)でx,yにp_n, p_n+1を代入したものですよね

A: 0<x<yであるような任意の実数x, yについて、{f(y)-f(x)}/(y-x)<f’(x)が成立する。

ここで命題Aを使ってyの代わりにzを代入したいのなら、不等式に現れる全てのyをzに変えなければなりません。つまり{f(z)-f(x)}/(z-x)<f’(x)となります。しかし文中で

“the left side inequality in (2) holds for any value that p_n+1 − p_n can be”

とおっしゃっていますが、ここでは分母を独立に動かしていますよね？p_n+1にある値を代入するのではなく、分子のp_n+1はそのままに分母を動かすという操作をしています。
この操作が可能であるということは命題Aでは保証されておらず、文中にも十分な説明がされていないようなので、この操作が可能であることの説明が欲しいです。