>>140
与式より
q^3≡-1 mod p
(q^2)^3≡1 mod p

フェルマーの小定理より
(q^2)^(p-1)≡1 mod p

よってq^2のpを法とする位数はgcd(3,p-1)

p-1が3の倍数でないと仮定するとgcd(3,p-1)=1より
q^2≡1 mod p
また、q^3≡-1 mod p でもあるので、
q≡-1 mod p

与式よりp>qなのでq=p-1
これを満たす素数p,qは(p,q)=(3,2)のみだが与式を満たさない。
よって、上記仮定が誤りでp-1は3の倍数。

与式を変形して
(p^2-2q)(p-1)=q^5+q^2+2q
ここでqが3の倍数でないと仮定すると、
q≡±1 mod 3
このとき、q^5+q^2+2q≡±1 mod 3
これは左辺が3の倍数であることに矛盾。
よってqは3の倍数。
p,qは素数より、(p,q)=(3,7)