面白い数学の問題おしえて～な 41問目

面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 40問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640443648/

過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

前>>150わかった。簡単だった。分岐点は120°でよかった。
>>107
Y字をてれこにくっつけた切れ目を対面にとり、これらを一辺切って開く。
切れ目の長さは、
切って開く辺が一つ、
Y字のつなぎ目が二つ、
頂点に向かう短い切れ目が八つだから、
1+2(1-1/√3)+8(1/√3)=3+6/√3
=3+2√3
=6.4641016……

>>152
xとyのどちらかが1であるとき成り立たないのでどちらも2以上
x!=2^a*A　y!=2^b*B　と素因数分解したとする
y以下の2^kの倍数の個数≦y/2^kだからb<yΣ[k=1,∞]1/2^k=y
xとyの差が1より大きいときa=bとならないので
題意の左辺=x!+y!=2^{aとbの小さい方}*C≦2^b*C<2^y*Cだが
題意の右辺=x^y≧2^yより矛盾　ゆえにxとyの差は1以下

f(x)=x^x-2x!>x^x-2x^(x+1/2)e^(-x+1/(12x))√(2π)
=x^x{1-6√xe^(-x+1/(12x))}　xが3以上で正なのでf(2)=0のみが解
g(x)=x^(x-1)-x!-(x-1)!>x^(x-1)-2x!
>x^(x-1)-2x^(x+1/2)e^(-x+1/(12x))√(2π)
=x^(x-1){1-6x^(3/2)e^(-x+1/(12x))}
xが4以上で正となるので解の候補はx=3しかないがf(3)=1で駄目
h(x)=x^(x+1)-x!-(x+1)!>x^(x-1)-x!(x+2)
>x^(x+1)-x^(x+1/2)e^(-x+1/(12x))√(2π)(x+x)
=x^(x+1){1-11x^(1/2)e^(-x+1/(12x))}
xが3以上で正になるのでh(2)=0のみが解となる

解は(2,2)、(2,3)

✕題意の左辺=x!+y!=2^{aとbの小さい方}*C≦2^b*C<2^y*Cだが
✕題意の右辺=x^y≧2^yより矛盾　ゆえにxとyの差は1以下

左辺を素因数分解したときの2の指数はyより小さいが右辺のそれはy以上に訂正

>>154
正解
差が1以下はうまいな
想定解
x=1,y=1で解なしは容易
(i)x≦yのとき
x-1 | LHS、(x-1,RHS) = 1よりx=2
2+y! = 2ʸ
y=4でLHS>RHSでその後差は開く一方なのでy=2,3
(ii)x>yのとき
Chebyshev's theorem よりp|y!、p²|̸y!である素数pがとれる
p|̸xならp|LHS、p|̸RHSで矛盾
p|xならp²|x!、p²|̸y!よりp²|̸LHS、p²|RHSで矛盾
∴(ii)では解なし

³√(2ⁿ+3ⁿ) ∈̷ℕ ∀n∈ℕ

3□+4□=5□.

【鉄緑】鉄緑会（東京限定）情報交換
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1650993901/35

35 名前：実名攻撃大好きＫＩＴＴＹ[] 投稿日：2022/06/05(日) 07:17:06.43 ID:2ieTF67y0
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2ⁿ+3ⁿ(n∈ℕ)の形の立方数を定めよ

２＾ｎ＋３＾ｎ≡２，３，４，５，６，９，１０，１３，１４，１５，１６，１７（ｍｏｄ．１９）。
ｍ＾３≡０，１，７，８，１１，１２，１８（ｍｏｄ．１９）。

>>101
正解

a!b! = a! + b! + c! (a,b,c ∈ ℤ)

解なし
aが1か0のときb!=1+b!+c!で駄目なのでaとbは2以上
a!,b!,c!を素因数分解したときの2の指数をA,B,Cと置く
左辺を素因数分解したときの2の指数はAB　右辺のそれはmin{A,B,C}
A,B,CのうちでAが最小のときAB=AとなるがA=0またはB=1だから矛盾　
Bが最小でも同様だからCが単独で最小となるがAB=Cより単独で最大なので矛盾

間違えた
＞右辺のそれはmin{A,B,C}
A,B,Cが異なるときの話だった
等しい物がある場合は違う

>>164修正
A,B,Cには単独での最小はない　
�@A=B=Cのとき　左辺の2の指数がAAで右辺の2の指数がA　だから矛盾
�AA=C<Bのとき　bはａより2以上大きいので　
a!b!=2a!+b!　b!(a!-1)=2a!=(2a!-2)+2　b!=2+2/(a!-1)≦2+2/(2!-1)=4
よりbは2以下でaは0以下となるので矛盾
�BA=B<C　のとき　a!^2=2a!+c!　a!(a!-2)=c!　
左辺を素因数分解した時の2の指数はA+1でCはA+1に限定されc=a+1またはc=a+2
�B’c=a+1のとき　a!(a!-2)=(a+1)!　a!-2=a+1　
f(x)=x!-x-3と置くとf(x)>(x/e)^x-x-3だからxが5以上で正だから候補は2以上4以下
f(3)=0のみが解
�B’’c=a+2のとき　a!(a!-2)=(a+2)!　a!-2=(a+2)(a+1)　
g(x)=x!-x^2-3x-4と置くとg(x)>(x/e)^x-x^2-3x-4でxが6以上で正
候補は2以上5以下だがどれも駄目
a=3,b=3,c=4が解

>>166間違えた
✕　＞�@A=B=Cのとき　左辺の2の指数がAAで右辺の2の指数がA
○　＞�@A=B=Cのとき　左辺の2の指数が2Aで右辺の2の指数がA

惜しいね
解あるよ

>>166また間違えた
＞CはA+1に限定されc=a+1またはc=a+2
aが奇数のときはcはa+1またはa+2でいいが偶数のときはcはa+2またはa+3だった

�B’’’cがa+3のとき　a!(a!-2)=(a+3)!　a!-2=(a+3)(a+2)(a+1)
h(x)=x!-(x+3)(x+2)(x+1)-2と置くとh(x)>(x/e)^x-(x+3)(x+2)(x+1)-2
xが7以上で正だから解の候補は2以上6以下だがどれも駄目

解あるってのに

(a,b,c)=(3,3,4)なら>>166で解いた
他にないことを確かめるのにcがa+3である場合を潰すのがヌケてたから直してた

>>171
あ、ホントだ、失礼しました
Jane styleのバグでレスの下の方消えて表示される時あるんだよ
まぁ本問a=c≦b or a=b<c≦a+2
にたどり着けば以下しょうもない

想定解
m=min{a,b,c}として♯{a,b,c}＼{m}=2なら
(m+1)! | LHS、(m+1)! |̸RHS
で矛盾
∴a=c≦b or a=b<cとして良い
前者のとき
与式⇔(a!-1)(b!-2)=2→b!=3,4より解なし
後者のとき
(a!-2)a! = c!
二進付値を考えてc≦a+3
三進付値を考えてc≠a+3
(a!-2)a! ≦ (a+2)!
(a+2)(a+1)+2≧a!
∴a≦4 (∵(a+2)²>a!が必要だがa=5のとき(a+2)²=49<120=a!で以降の左辺の増加する比率は2以下、右辺は2以上)
有限個に絞り込み完

f(x) : ℝ＼{0,1}→ℝ
f(x)f(1/(1-x)) = (1-x)/x (∀x≠0,1)

√(2+√2), √(1+√5), √(1+√10)はそれぞれ二重根号を外せない。(すなわち単純なn乗根の和で書けない)
では√((2+√2)(1+√5)(1+√10))の二重根号は外せるか？

できるならQ(√2,√5,√10)の元で最小多項式は4次以下だけどその元の最小多項式は8次なので無理

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9A%28%282%2B%E2%88%9A2%29%281%2B%E2%88%9A5%29%281%2B%E2%88%9A10%29%29&lang=ja

>>175
不正解

>>176
できるの？
根号が外せるの意味は

ℚ({aₖ})、aₖは全て正の有理数のn乗根

の意味で合ってる？

>>177
そうです、問題文にもある通り「単純なn乗根の和で書ける」(nは2とは限らない)

>>178
単純なn乗根は

正の有理数のn乗根？

「(-1+√3i)/2は“1の3乗根”だから単純でしょ」とか入ってない？

>>179
Σ(有理数)*(正の整数のn乗根)
の形になります

>>181
正解です。

あまり知られてないかもしれませんが多重根号を外すための簡単で強力な経験則があります。
それは最小多項式の共役を利用する方法です。

例えば本題の定数αの最小多項式は
5184 + 2304 x^2 + 40 x^4 - 48 x^6 + x^8
でβを-3.0208付近の共役と置いてα+βの最小多項式を計算すると
-200+x^4
になってα+β=200^(1/4)であることがわかります。
同様にしてα-βの最小多項式を計算すると
-8 - 96 x^2 + x^4
になりα+β=√(48+34√2)=(3+2√2)2^(3/4)でこれらの連立一次方程式を解けば答えが求まります。

まぁ多重根号は外すアルゴリズムあるらしいから大先生やってくれるかと思ったけどやってくれなかったな

これのランダウのアルゴリズム
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Landau%27s_algorithm
大先生やってくれないからできない問題だと思った

気付けば簡単？
https://pbs.twimg.com/media/FUuGK0jaAAAuKU0.jpg:large

前>>153
>>174
(2+√2)(1+√5)(1+√10)=2+√2+2√5+√10+2√10+2√5+10√2+10
=12+11√2+4√5+3√10
=√2(1+√2)(1+√5)(1+√2・√5)

f(x)=αx+β 、g(x)=γx+δがあり、α,γ>0 αδ-βγ>δ-βを満たす。ここで{x_n}をx_1=α, x_(n+1)=f(x_n)またはx_(n+1) =g(x_n)で定める時、x_1をfでk回、gでl回適当な順で合成した値x_(k+l+1)が最大となるような合成順序を考えた時、そのx_(k+l+1)の最大値を求めよ。

P=(1-r2-r5-r10)/2.
Q=(1-r2+r5+r10)/2.
R=(1+r2-r5+r10)/2.

PQ=-3(1+r2).
PR=-(3/2)(1+r5).
QR=1+r10.
PQR=-(3/2)(3+2r2+r5).

(PQR)^2=(9/2)(1+r2)(1+r5)(1+r10)=(9/4)(3+2r2+r5)^2.

誰か>>185教えて

大先生に書いてもらったらA/CもB/Cもx=y=z=π/3の時最大みたいだからそれをそれぞれ示すんじゃね？

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+sin%28x%29sin%28y%29sin%28x%2By%29%2F%28sin%5E2%28x%29%2Bsin%5E2%28y%29%2Bsin%5E2%28x%2By%29%29&lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+%28%28pi-x%29sin%28y%29sin%28x%2By%29%2B%28pi-y%29sin%28x%29sin%28x%2By%29%2B%28x%2By%29sin%28x%29sin%28y%29%29%2F%28sin%5E2%28x%29%2Bsin%5E2%28y%29%2Bsin%5E2%28x%2By%29%29&lang=ja

なんで最大を考えるの？

アレ？
不等号逆か？
最小なら大先生のグラフ見る限り端っこの方やな

前>>186
>>185
A+B=2sinαsinβsin(α+β)+(π-α-β)sinβsin(α+β)+(π-2β)sinαsin(α+β)+(2α+2β-π)sinαsinβ
α=β=γ=π/3とすると、
A=2(√3/2)^3=3√3/4
B=(π/3)(3/4)×3=3π/4
C=(3/4)×3=9/4
(A+B)/C=(3√3+3π)/9
=(π+√3)/3
=1.6245……

0→①→-1→②→-3→③→-2→④→-4→19


クイズ①②③④に入る数字はなんでしょう？

これ解けたらIQ150超えだな

a(n) = Sum_{k=1..n} k*floor(n/k)の公式がわからない

オイラーの関数とかの数論的関数使わないと無理なんじゃないの？
どこまで使っていいかわからないから答えようない気がする

前>>193
>>194
0→29→-1→28→-3→25→-2→23→-4→19
∴�@29
�A28
�B25
�C23

>>198
想定している解と違うんだけど、どう考えたの

素数がひんと

>>194
0,2,-1,4,-3,8,-2,15,-4,19,-10,21,-16

それだと8の次は-5でしょ

>>202
ごめん策問時点で計算ミスしてたから2個前のレスの人が正解だ策問ミスすまん。作問ミスったから全員正解扱いでよろ

前>>198
なにを想定されてたかわからないけど正解できてよかったです。

階差数列だよん
2、-3、5、-7、11、-13って素数の正負が交互になったものの階差数列

設問が正しかったと仮定して(a_7 = -5)、
a_9 = 23となる数列さえ選べば素数とか関係ないけどね

？を求めよ

1,3,9,27,82,252,783,2457,？,24801,79596…

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640443648/84

>>207
ラグランジュ補間により、任意の実数で法則付けられる

こういうクイズは数学の問題じゃない
スレチだから消えろ

ラグランジュうんぬんじゃなくて
クリプキのクワス算といえばわかると思うけど
任意の数列は任意の表現が可能だからどうしようもない

前>>198
>>207
2457×3+540=7911

前>>204訂正。
>>207
2457×3+540=7911

なぜ>>194には言わずに俺にだけ言うのか

ずっと監視してるわけじゃないからでは。

まあ>>1のルールには抵触していないが
曖昧な問題禁止と書き加えておくか？

「一辺の長さ2の正方形」と「長さ7の閉曲線」とで囲まれる図形の面積の最小値を求めよ.


(ただし、閉曲線Aと閉曲線Bとで囲まれる図形とは、閉曲線Aが囲う領域をA’、閉曲線Bが囲う領域をB’として、A’とB’の対称差( (A’\B’)∪(B’\A’) )の事とする.)

前>>212
>>216
ぜひ解きたいので、
A’\B’を定義してほしいです。
この記号→\
のルールについてです。

4隅円弧で切り取った場合の切り取った部分の面積の最小じゃないの？
半径r、中心角θの円弧で切り取るとして円弧の両端結ぶ線分の長さは2r sin(θ/2)、この２点を正方形の隅に配置した時２点を正方形に沿って進む場合の道のりが2√2r sin(θ/2)、円弧に沿って進む場合の道のりはrθ
∴円弧を進んだ場合のショートカットの効果は2√2r sin(θ/2)-rθ
ショートカットの四隅の合計が1にならないといけないから束縛条件は
2√2r sin(θ/2)-rθ = 1/4‥①
これを満たす領域で切り落とされる部分の面積は
S = ( 1/4( 2r sin(θ/2) )² - ( 1/2 r²θ - 1/2 r²sinθ) )×4
①におけるSの最小値じゃないの？

>>217
AとBの対称差はこの図の通りです
https://i.imgur.com/GrhrOhT.png

A\Bは差集合のことです

>>218
実は四隅円弧切り取りで正解です

>>218
そもそもθ=π/2じゃない？
ちゃんとした証明をつけるのは難しそう、というか最小値が存在すること自体非自明な気がするけど。

この手の最小値問題は大概適当にソボレフ空間設定してゴニョゴニョやれば大概でる
2次元内の曲線ならなんとかなる
空間内の曲面の話になると途端に難しくなる

前>>217
>>216
円弧半径をrとすると、
8(1-r)+2πr=7
r=1/(8-2π)
求める面積の最小値=4r^2-πr^2
=(4-π)/(8-2π)^2
=1/4(4-π)
=1/(16-4π)
=0.29123702289……

つべネタ

E = ℂ(x,y,z)
F = ℂ(x+y+z, xy+yz+zx, xyz)
L = ℂ(x²y,y²z,z²x)
K = L ∩ F

とする

(1) E/K がGalois拡大である事を示し[ E:K ]を求めよ
(2) F/Kの中間体の個数を求めよ

平面上に3つ以上の点があり、一つの直線上に全ての点が乗ることは無いものとする.
このとき、ちょうど2点だけを通る直線が存在することを示せ.

>>225
Sを♯S≧3である有限集合としm = min{ d(直線AB, C) | A,B,C∈S }とおく
A,B,C∈Sを
m = d(直線AB,C)となる点とし、lを直線ABとする
l上にAB以外のSの元がとれない事を示せばよい
CからABに下ろした垂線の足をHとする
HがABのBに近い外分点とするとBから直線ACに下ろした垂線の足をKとして△ACHと△ABKが相似でAH≧AB>AKでmの最小性に反する
よってHは常に線分AB上である
DがABのBに近い外分点とするとBから直線DCに下ろした垂線の足をLとして△DCHと△DBKが相似でDH≧DB>BKでmの最小性に反する
よってDは常に線分AB上である
Dが線分AH上とするとDから直線ACに下ろした垂線の足をMとして△ACHと△ADMが相似でAH≧AD>DMでmの最小性に反する
以上により全ての場合で矛盾が生じたからl上にSの他の点は存在し得ない

>>226
素晴らしい
お見事です

これってヒルベルト空間であれば成立するよね
一般の実ベクトル空間(直線を{x+ty | t∈R}とする)だと反例ある？

>>226の証明は有名な証明だが、距離の性質に依存しすぎていて、
なるべく距離に依存しない証明は無いかと考えた数学者がいて(実はエルデシュ)、
実際にそういう証明があるらしい。もちろん、より複雑な証明。

うろ覚えだから、実際にどこまで距離の性質が必要だったかは分からん。

任意の実ベクトル空間はヒルベルト空間の構造もてるんだからヒルベルト空間で成り立つなら実ベクトル空間でも成り立つのでは？

>>230

> 任意の実ベクトル空間はヒルベルト空間の構造もてるんだから

そんな事ないな
しかし反例があるとしたらそこからすぐに有限次元ベクトル空間の反例が作れるわけだから(その有限個の点と原点ではられる部分空間とればいい)結局ヒルベルト空間で反例が作れる事にならない？

>>224
Kはxxy, yyz, zzxの生成する対称式全体でK=C[xxxyyyzzz]？

>>232
不正解
E/Kは代数拡大なのでKもℂ上trans.deg(K) = 3になります
Kの生成元完全に決める事は原題では求めてません
求められるだろうけど

x^ay^bz^cが対称式に含まれてるとしたら
x^ay^cz^bとか最大6種類もその式に含まれてるから
それがぜんぶ(x^2y)^p(y^2z)^q(z^2x)^rと表せるので
(a,b,c)=(2p+r,p+2q,q+2r)
みたくな pqrが6種全部に存在すとして
それは互換で言えればいいから
(a,c,b)=(2p'+r',p'+2q',q'+2r')
a+b+c=3(p+q+r)=a+c+b=3(p'+q'+r')
よりp+q+r=p'+q'+r'
b+c-a=-p+3q+r=c+b-a=-p'+3q'+r'
より2p-2q=2p'-2q'
p-q=p'-q'
あめんど
もっとスカッと示してください

単項式は多分(xyz)³しかない
しかし例えば

(x²y)³=x⁶y³はLの元、(xyz)⁶/(z⁶x³)=x³y⁶もLの元
同様にして考えて
x⁶y³+y⁶x³+y⁶z³+z⁶y³+z⁶x³+x⁶z³はLの元かつFの元

と単項式でないタイプももちろん出てくる
そもそも“自分が思いつく構成法でコレだけ見つかった”というリストをいくら増やしてもダメ、”コレで全部、残りのKの元は全てコレで生成される”まで示すのは方針としてかなり難しい
出来るのかもしれんけど
素直にガロア理論使うのが吉

生成元求めてみた
多分
K=ℂ(x⁹+y⁹+z⁹, x⁶y³+y⁶x³+y⁶z³+z⁶y³+z⁶x³+x⁶z³, x³y³z³)
右辺がKに含まれるのは簡単に確認できるけど逆向きも多分証明できた
しかしこれがわかっても設問の解答に役立つかどうか分からん

見落としあった
xy⁴z⁴+x⁴yz⁴+x⁴y⁴z
とか
x²y⁸z⁸ +⁸y²z⁸ +x⁸y⁸ z²
とかもKの元
一般に
xᵏy⁴ᵏz⁴ᵏ +⁸ᵏyᵏz⁴ᵏ +x⁴ᵏy⁴ᵏ zᵏ
は全部Kの元、
もちろん有限個の生成元選んでKを生成できるはず
有限個選び出すのは出来るだろうけど、それ使って[E:K]とか決められるかどうかはわからない

>>236
そのKをK’として、もしE/K’が有限次元ガロア拡大なら中間体B,B’に関する公式
Gal(BB’/B)=Gal(B’/B∩B’) 同型
σ→σ|B∩B’
が使える

>>238
そう、だから結局ガロア理論使うしかない
設問は[E:K]を求めよで具体的にKの生成元を求める必要はない
それはガロア理論使えばさほど難しくない、原題は大学院の入試問題でせいぜい30分もあれば解けるレベルの問題
しかしKの生成元を全部求めた後でガロア理論使うとなると話は違う、一応Grothendickの定理で有限生成にはなるはずだけど
最低でもtrandeg K' = 3となるK'求めればホントのKはE/K'の中間体として出てくるし、それはガロア理論使えば決定できるかもしれないけど、そもそもそんな回り道する意味がない

>>224
つべのチャンネル名教えて下さい

>>240
https://youtu.be/uUBOxtnzPIs

>>241
ありがとうございます！
最近いつ見ても同じ配信者の動画しか出てこないので
他の人の動画が見たいと思ってたところなんです

俺も龍孫紅とよびノリしか出てこん

>>239
ガロア理論でガロア軍わかるなら
Kも具体的にわかろう？

平面上に有限個の点があり、白か黒の色が付いていて、
一つの直線上に全ての点が乗ることは無いものとする.
このとき、2点以上の同じ色の点だけを通る直線が存在することを示せ.

△ABC内に点Fが与えられたときFを焦点とし三辺と接する楕円を描きたいときに
もう一つの焦点F'と３つの接点を作図する方法は？

>>246
普通にFから2接点に向かう直線書いて接線で反射させた直線作図するだけじゃないの？

三角形内に任意にFを取ると内接楕円は一意に決まり、もうひとつの焦点F'と３つの接点のシンプルな作図法があるっていうことです

その手のやつはこの形で問題にするのは無理やろ
作図なんか簡単にできてしまうんやから
実質「カッコいい方法あるんだけどわかる？」って言ってるのと一緒なので数学の問題になってない

あ、わかった、なるほど
楕円の方は与えられてないのね

わかった
Fを3辺に関して対称に移した点をDEFとすればF'は三角形DEFの外心ですな

コインが６枚あります。
そのうち１枚が偽物です。
本物はすべて重さが同じで本物と偽物は重さが違います。偽物が本物より軽いか重いかは分かりません。重さは整数とは限りません。
重さをはかることのできるはかりを３回使って
（※天秤ばかりではない。重さが表示される計量ばかり。）
偽物のコインを見つけて、さらに本物、偽物の重さを答えてください。

この答え教えて欲しい！