>>152
xとyのどちらかが1であるとき成り立たないのでどちらも2以上
x!=2^a*A　y!=2^b*B　と素因数分解したとする
y以下の2^kの倍数の個数≦y/2^kだからb<yΣ[k=1,∞]1/2^k=y
xとyの差が1より大きいときa=bとならないので
題意の左辺=x!+y!=2^{aとbの小さい方}*C≦2^b*C<2^y*Cだが
題意の右辺=x^y≧2^yより矛盾　ゆえにxとyの差は1以下

f(x)=x^x-2x!>x^x-2x^(x+1/2)e^(-x+1/(12x))√(2π)
=x^x{1-6√xe^(-x+1/(12x))}　xが3以上で正なのでf(2)=0のみが解
g(x)=x^(x-1)-x!-(x-1)!>x^(x-1)-2x!
>x^(x-1)-2x^(x+1/2)e^(-x+1/(12x))√(2π)
=x^(x-1){1-6x^(3/2)e^(-x+1/(12x))}
xが4以上で正となるので解の候補はx=3しかないがf(3)=1で駄目
h(x)=x^(x+1)-x!-(x+1)!>x^(x-1)-x!(x+2)
>x^(x+1)-x^(x+1/2)e^(-x+1/(12x))√(2π)(x+x)
=x^(x+1){1-11x^(1/2)e^(-x+1/(12x))}
xが3以上で正になるのでh(2)=0のみが解となる

解は(2,2)、(2,3)