Cの半径は1とする
大円の半径をR、小円の半径をr、共通の外接線のなす角をθ、外接線の交点をO、共通の内接線の交点をP、反転をQとする
直交座標をO(0,0)、小円の中心c(r/sinθ,0)、大円の中心C(R/sinθ,0)ととる
大円、小円がx²+y²についての反転だから
rcotθ×Rcotθ=1 ∴ rR = tan²θ
P(p,0),Q(q,0)としてPはc,Cをr:Rに内分する点だから
p = ( Rr/sinθ + rR/sinθ )/( r+R ) =2Rr/( r+R )sinθ
∴ q = (R+r)/(2Rrsinθ)
小円の方程式が(x-r/sinθ)²+y²=r²、
大円の方程式が(x-R/sinθ)²+y²=R²
だから根軸の方程式は
(-2r/sinθ+2R/sinθ )x +r²/sin²θ - R²/sin²θ = r²-R²
整理して
-2x + (R+r)/sinθ = (R+r)sin
この方程式はx = qのとき成立するから主張は成立する□