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p≦qとしてよい。q≧5のときを考える。p^3＋1＝p^2q^2−q^3により、p^3＋1はq^2で割り切れる。
p^3＋1＝(p＋1)(p^2−p＋1), p＋1＞0, p^2−p＋1＞0 に注意して、場合分けする。

p＋1 が q^2 で割り切れる場合：p＋1≧q^2≧p^2 となるので、1≧p^2−p＝p(p−1)＞1 となって矛盾。

p^2−p＋1 が q^2 で割り切れる場合：p^2−p＋1≧q^2≧p^2 となるので、1≧p となって矛盾。

p＋1, p^2−p＋1 がともに q で割り切れる場合：mod q で計算すると、
3≡0 (mod q) となることが分かる。これは q≧5 に矛盾。

以上より、q≧5 は起こり得ない。よって、(p,q)＝(2,2), (2,3), (3,3)しか候補がない。
この中で、等式を満たすのは (p,q)＝(2,3) のみ。