>>482
与式の左辺は偶関数だからf(x)^2も偶関数。
簡単な計算によりfは奇関数か偶関数であることがわかる。
以下、g(x) = x^2 + 1 とし、g^n(x) はn回合成を表すとする。

fが奇関数のとき多項式hを用いてf(x) = x h(x^2+1)と書け、
与式に代入してx^2+1 = yと置き換えると
y h(y^2 + 1) = (y - 1)h(y)^2 + 1.
y=1 を代入してh(2) = h(g(1)) = 1 がわかり、帰納的に h(g^n(1)) = 1 (n ≧ 1) もわかる。
h は多項式であったから、h = 1.
よってこのときf(x) = x.

f が偶関数のとき、多項式pを用いて f(x) = p(x^2 + 1) とおいて与式に代入し、x^2 + 1 = y とおくと p(y^2 + 1) = p(y)^2 + 1 となる。
pの次数はfの次数の半分なので、次数が奇数になるまでこのような置き換えを続けることにより、上の場合と合わせて f(x) = g^n(x) の形であることがわかる。
よってfの次数は 2^n (nは非負整数).

多項式の係数が実であることとか使ってないし、fも次数だけでなく完全に決定されてるし、もっと簡単に出来るのかもしれない