>>489
n ≦ 4 のときは具体的に頑張って (a,b,c,n) = (1,1,0,3), (2,0,0,3), (4,1,1,4).
以下n ≧ 5を仮定し、この場合に解が無いことを示す。

まずmod 8で考え、
(1) a=1, bは偶数、cは奇数
(2) a=2, bは奇数、cは偶数
(3) a≧3, b, cは奇数
のいずれかが成り立つことに注意する。

b=0とすると(1)だが、このとき5^cが3の倍数とならなければならなくなり矛盾。よってbは正。
同様にcも正。

したがって2^a+5^cは3の倍数であり、aとcの偶奇は異なることがわかる。
また同様に2^a+3^bが5の倍数であることからaとbの偶奇が一致することもわかる。
よってbとcの偶奇は異なり、上の(1)から(3)のいずれも成り立たない。
すなわち、n≧5の場合解は無い。