面白い数学の問題おしえて～な 41問目

>>33
bを固定するとし、このとき△IABの平均は∫[0,b]△IABdaをbで割った(1-cosb)/b-sinb/2
△ICBの平均は∫[b,2π]△ICBdcを2π-bで割った(1-cosb)/(2π-b)+sinb/2
だからbを固定したときの□IABCの平均はこれらを足した2π(1-cosb)/(b(2π-b))・・�B
1-cosbはbがπの偶数倍のときが重根で(1-cosb)/b^2→1/2(b→0)だから
1-cosb=1/2*b^2Π[k=1,∞](1-(b/(2kπ))^2)^2と書けて
0<b<πだからΠ[k=2,∞](1-(b/(2kπ))^2)^2>Π[k=2,∞](1-(π/(2kπ))^2)^2
=e^{Σ[k=2,∞]log((1-1/(2k)^2)^2)}
>e^{2Σ[k=2,∞]Σ[m=1,∞](-1/m*1/(2k)^(2m))}
>e^{2Σ[k=2,∞]Σ[m=1,∞](-1/1*1/(2k)^(2m))}
=e^{-2Σ[k=2,∞]1/(2k)^2/(1-1/(2k)^2)}
=e^{Σ[k=2,∞](1/(2k+1)-1/(2k-1))}=e^{-1/3}　だから
1-cosb>1/2*b^2Π[k=1,1](1-(b/(2kπ))^2)^2*e^{-1/3}