>>564
質問者ではないですが、こんな感じでいいのかな

・mが偶数のとき
1通りの解が存在する。

mが偶数なので、下位桁=a^2 と上位桁×10^m=b^2 が
ともに平方数となり、ピタゴラス数の生成公式
a=p^2-q^2, b=2pq, c=p^2+q^2
を満たす p>q が存在する。
問題の仮定
a^2 がm桁、b^2 が2m桁で 10^m の倍数
が成り立つのは p=(1/2)(10^(m/2)), q=p-1 のみ。

このとき
m=2, p=5, q=4, c^2=1681
m=4, p=50, q=49, c^2=24019801
m=6, p=500, q=499, c^2=249001998001
…