>>344 追加

これ
　>>318より （元の問題は>>29）
"exp(2πi cosh(z))が
●値0を取らない
●値1以外の任意の場所で、微分が0でない
のだから値が1以外の場所で
局所的に正則な逆関数が存在する　つまり
g(z)=arccosh(log(f(z))/2πi)
がΔからCのある領域への正則関数になる"

で、尽くされている気がする

1）要するに、”f(z)=exp(2πi cosh(g(z)))”の逆関数が存在するか？ が問題 ってこと
2）まず、訂正
　>>336 で、df/dz=df/dh * dh/dg * dg/dz は、要らないね
　f(z) = exp(2πicosh(g(z))) 　h(z)=2πicosh(g(z))　f(z)＝f(h(g(z))) で
　df/dg=df/dh * dh/dg ≠0 ならば、逆関数 g(z)=arccosh(log(f(z))/2πi) の存在が言える
　（下記の逆函数定理ご参照）
3）前半のdf/dh＝exp(2πi cosh(g(z))) で、これが値0にならないことは、指数関数の性質からすぐ分かる
　（問題の与件 f(z)≠0とも合致している）
4）後半 dh/dg について、g(z)＝gと書くと、h(g)=2πicosh(g)=πi(e^g+e^-g)と書ける
　dh/dg=πi(e^g-e^-g) となる。dh/dg=πi(e^g-e^-g)＝0を考える
　 (e^g)^2=1のとき、dh/dg=πi(e^g-e^-g)＝0
　つまり、e^g＝±1のとき、dh/dg=0
5）さて、これをf(z)=exp(2πi cosh(g(z)))≠1と対比すると
　exp(2πi cosh(g(z)))＝1となるのは、cosh(g(z))＝0、±n (nは正の自然数)のときのみで
　いまは、f(z)≠1だから、e^g≠±1を満たす
6）よって、f(z)≠1の条件から、dh/dg≠0即ち df/dg≠0が言えて、”f(z)=exp(2πi cosh(g(z)))”の逆関数が局所的に存在することが言える

これで、終わっているんじゃない？
普遍被覆とか、持ち上がるとか、関係ないんじゃね。 (>>330) リーマン面は要ると思うが

つづく