>>48
この指摘でやっと Ramanujan's Notebooks PartIII のEntry 10で紹介されてる命題

φ(exp(exp(y))) = √z
φ(-exp(y)))) = √z (1-x)^(1/4)

の意味がわかった
結局これがtheta定数(θ₁₀/θ₀₀)²がLegendreのパラメータkに戻る事が示せて“Jacobiの楕円関数をtheta関数で定義する”が完成するんやな
これが無くても

任意の0<k<1でτ=K'(k)/K(k)iとおけば、このτから定義される楕円関数sn,cn,dnは(θ₁₀/θ₀₀)²に対する楕円関数の関係式は満たしてるけどそれが元の与えられたkかどうかはわからない、それは求めている楕円関数と同じ形の方程式、同じ二重周期を持つけどそれが求めている楕円関数になるかどうかはもう一議論入るけどそれをすっ飛ばしてあくまで計算オンリーで“(θ₁₀/θ₀₀)²がℂ＼{0,1,-1}への全射”を与える直接証明になってひいては(θ₁₀/θ₀₀)⁴がℍ→ℂ＼{0,1}の普遍被覆を与える事に繋がるんやな
やっと意味わかった