Wikipedia 5次方程式より
＞一般の五次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。もう少し詳しく書くと、五次の一般方程式の根を、その式の各項の係数と有理数の、有限回の四則演算及び有限回の根号をとる操作の組み合わせで表示することはできない。

4次ができて5次ができないというのは、いまだに未解決問題だろ。
誰かが解決したらいい。

ちなみにWikipedia日本語版の絶対ガロア群のページが日本語化されたのは近年。