巨大数を語り合うスレ

wikiとかに載ってるのは良し❗
オリジナルも良し❗
999999999999999とかは無しで。

TREE(3)

適当数（名前思いつかなかった）
チェーン表記の一般化（適当）
Nに代入した数の長さのチェーン。数は全てN
（例）N=5→5→5→5→5→5
N=10 10→10→10→10→10→10→10→10→10→10→10

>>3これはオリジナルだよー

>>3 表記方法は5って感じにNの下に→をおく
→

大きな実数を語り合うスレです。

前スレ
　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532700505/
巨大数研究室
　http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
巨大数 (Wikipedia)
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0
ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDFと書籍
　http://gyafun.jp/ln/
たろう氏のまとめ
　http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
Dmytro Taranovsky の順序数表記
　http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
寿司虚空編
　https://comic.pixiv.net/works/1505
巨大数研究Wiki
　http://ja.googology.wikia.com/wiki/
過去スレ
　http://ja.googology.wikia.com/wiki/5ch

前スレ
巨大数探索スレッド15
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549706510/

IBIB数χ1(仮)とB関数合わないな、どうにかして合わせられないかな

IBI数χ2

IBI₃[a](0)
=IBI₂[a](1)
=IBI₂[a,a](0)
=IBI₁[a-1,a,a,a]

[]の中の数が単体の場合、引数をひとつ減らし、()の中の数に+1する。その後は、IBIχ1と同じやり方

これで、合うはず

前スレ完走したんだ

IBI数χ2

[]の中の数が複数ある場合、
[]の中の数のうち、最も小さいもの以外を()の中に入れる。()の中でも同様のことをする。
IBI₃[2,4,3](0)
=IBI₃[2]([3](4))
=IBI₃[2](2^{3×((2^{21990232555515})-1)})

>>11
前スレは今998

>>9
説明で、()の中の数が0ってのも条件のうちに入ってるんだけど、書くの忘れてた

でも、()の中が0以外でも、>>9みたいにはなるけど

IBIB数χ2

IBIB₃[(1)[]0^2]0(1)をB(1)とした時の、
100"B[100]を「最小IBIB数χ2」とする

なして巨大数探索スレッド16やないん？

>>17
前スレで需要も無くなっていたしいいんでない

現にこうして続いてるから需要あるし、需要が無いなら新スレ立てなくていいのでは
wikiじゃ探索スレッドの名前で記事ができてるからちとややこしくなるぜ

名前なんて魂の入れ物に過ぎないし、見方を変えれば語り合う内容の部分集合として探索することも含まれるからいいと思う
それに、さらに歴史を遡ればもっと違う名前だったし

名前は何でもいいっちゃ何でもいいんだが、たとえば後で見返す時にいちいち名前が変わってたらどこにどういう情報が載ってたか覚えづらいし、せめてナンバリングがほしいと思うのです。

···いや名前ばらばらのほうがかえって覚えやすいか？　何にせよソートしやすい情報は欲しい

一時期計算可能派と計算不能派が険悪な感じでスレ分けようかという話も出てきた頃があるが、今はそういうのないな。

a,b=自然数
c,n=非負整数
X=0個以上の非負整数
a:n=n個のa

a[X]1=a
a[](b+1)=a+(a[]b)
a[0:n+1](b+1)=a[a:n](a[0:n+1]b)
a[X,c+1,0:n](b+1)=a[X,c,a:n](a[X,c+1,0:n]b)

100[100:100]100をググレコンプレック数と命名する

IBI数χ3
a,n,k=1以上の非負整数

IBI₄χa[n](k)
=IBI₄χa-1[n,a]([k](a))

IBI₄χ3[7](1)
=IBI₄[7,3]([1]([3]([2](1))))

IBI₄χ4[2,4,3](1)
=IBI₄[2,4,3]([1]([4]([3](2^278))))

a,b,c　非負整数
X　0個以上の非負整数のリスト
Xc　0個以上のcより大きい整数のリスト
(リスト):a　リストのa回の繰り返し
左辺=(a+1)[X]b　ならば　@=a[X]b

0[]0=1
(a+1)[]0=@+1
0[X,0]0=1[X]1
(a+1)[X,0]0=@[X]@
0[X,c,Xc,c+1]0=1[X,c,Xc,c]1
(a+1)[X,c,Xc,c+1]0=@[X,(c,Xc):@,c]@
0[X](b+1)=1[X]b
(a+1)[X](b+1)=@[X]b

この演算子ならε_0まで行けると思う

何となくで作っただけだが、計算が面倒くさすぎてわからんし、多分あんま大きくならない

もうちょっと分かりやすくしてみた
見る人が見たらアッカーマン関数とハイパー原始数列のハイブリッドだとわかる

a,b,c,k,m,n　非負整数
S0,S1,S2,S3,...,S(k-3),S(k-2),S(k-1),Sk　非負整数
X　0個以上の非負整数のリスト
Xc　0個以上のcより大きい非負整数のリスト
左辺=(a+1)[X]b　ならば　@=a[X]b

V=(S0,S1,S2,S3,...,S(k-3),S(k-2),S(k-1),Sk)
V+a=(S0+a,S1+a,S2+a,S3+a,...,S(k-3),S(k-2)+a,S(k-1)+a,Sk+a)
V:m;n=(V+0×n,V+1×n,V+2×n,V+3×n,...,V+(m-3)×n,V+(m-2)×n,V+(m-1)×n,V+m×n)

上記定義により下記が導出される

V:0;n=V
V:m;0=(V,V,V,V,...{Vがm+1個}...,V,V,V,V)
V:m;1=(V,V+1,V+2,V+3,...,V+(m-3),V+(m-2),V+(m-1),V+m)
V=()　ならば　V:m;n=()
V=(0)　ならば　V:m;0=(0,0,0,0,...{0がm+1個}...,0,0,0,0)
V=(0)　ならば　V:m;1=(0,1,2,3,...,m-3,m-2,m-1,m)
V=(0)　ならば　V:m;n=(0,n,2×n,3×n,...,(m-3)×n,(m-2)×n,(m-1)×n,m×n)
V=(a)　ならば　V:m;0=(a,a,a,a,...{aがm+1個}...,a,a,a,a)
V=(a,b)　ならば　V:m;0=(a,b,a,b,...{a,bがm+1個}...,a,b,a,b)
V=(0,2)　ならば　V:m;1=(0,2,1,3,2,4,...,(m-2),2+(m-2),(m-1),2+(m-1),m,2+m)

上記を踏まえて下記演算子a[X]bを定義する

0[]0=1
(a+1)[]0=@+1
0[X](b+1)=1[X]b
(a+1)[X](b+1)=@[X]b
0[X,0]0=1[X]1
(a+1)[X,0]0=@[X]@
0[X,c,Xc,c+1+n]0=1[X,(c,Xc):1;n]1
(a+1)[X,c,Xc,c+1+n]0=@[X,(c,Xc):@;n]@

そういえば、原始数列数でいちばん大きくなるのって
(0,1,2,…k-2,k-1,k)[n]
みたいなん感じって聞いたけど、
(0,1,2,k-n,2,…2,k-2,2,k-1,2,k,2)[a]　
k-n,k-2,k-1,k=2以上の自然数
の方が、大きくなりそうなんだけど、どうだろうか

(0,1,2,k-n,2,…2,k-2,2,k-1,2,k,2)[a]
を具体的な数列に置き換えてみてくれないとイマイチ意味がわからん

例えば、
(0,1,2,3,2,4,2)[2]
みたいな感じ

珠簾数
a,b,c,d,e=1以上の非負整数
解散方法は原始数列と同じ

a─b─c─d─e　a<b<c<d<e
=(a,b,c,d,e)
=(a,b,c,d,d,…d,d)[e]
e個分dが増え、[]の中にeが入る

┌a1─b1─c1─d1─e1
└a2─b2─c2─d2─e2
=(a1,b1,c1,d1,e1/a2,b2,c2,d2,e2)
=(a1,b1,c1,d1,e1,…d1,e1/a2,b2,c2,d2,d2,…d2,d2)[e2]
d1,d2,e1がe2個分増え、[]の中にe2が入る

┌1─2─3─4─5
└6─7─8─9─10
を「お試し数」とする

息抜きに何となくで作ったけど、大きくできた()

0[]1と1[]1を計算するとこんな感じになる
ちなみにa#bの表現はb個のa

0[]1=1[(1):1;1]0=1[1,2]0=(0[1,2]0)[(1):0[1,2]0;0]0=ζ[(1):ζ;0]0=ζ[1#(ζ+1)]0=η
0[1,2]0=1[(1):1;0]0=1[1,1]0=(0[1,1]0)[1,(0):0[1,1]0;0[1,1]0]0=ε[1,(0):ε;ε]0=ε[1,0,ε,ε×2,ε×3,...,ε×(ε-3),ε×(ε-2),ε×(ε-1),ε×ε]0=ζ
0[1,1]0=1[1,(0):1;1]0=1[1,0,1]0=(0[1,0,1]0)[1,(0):0[1,0,1]0;0]0=δ[1,(0):δ;0]0=δ[1,0#(δ+1)]0=ε
0[1,0,1]0=1[1,(0):1;0]0=1[1,0,0]0=(0[1,0,0]0)[1,0]0=γ[1,0]0=δ
0[1,0,0]0=1[1,0]0=(0[1,0]0)[1]0=β[1]0=γ
0[1,0]0=1[1]0=(0[1]0)[(0):0[1]0;0[1]0]0=α[(0):α;α]0=α[0,α,α×2,α×3,...,α×(α-3),α×(α-2),α×(α-1),α×α]0=β
0[1]0=1[(0):1;1]0=1[0,1]0=(0[0,1]0)[(0):0[0,1]0;0]0=5[(0):5;0]0=5[0#6]0=2↑^{6-2}(5+3)-3=2↑^4(8)-3=α
0[0,1]0=1[(0):1;0]0=1[0,0]0=2×(1+3)-3=5

1[]1=(0[]1)[(0[]1):0[]1;0[]1]0=η[(η):η;η]0=η[η,η×2,η×3,...,η×(η-3),η×(η-2),η×(η-1),η×η,η×(η+1)]0

>>32
3の次が2なのでらω＾ω＾(ω+1)〜ω＾ω＾(ω×n)の大きさにしかならないかと
(0,1,2,3,3)だったらω＾ω＾ω＾2までいける

>>38
そうなのか
そこまで変わるのかなら、
(0,1,2,3,…)[n]
の方がいいのか

a,b,n=非負整数
X=0個以上の非負整数
a:n=n個のa

N=100
G(0)=N↑^(N)N
G(a+1)=N↑^{G(a)}N
F(0)=G(N)
F(a+1)=G(F(a+1))
G(0:n+1,0)=F(N:n+1)
G(0:n+1,a+1)=F(G(0:n+1,a):n+1)
F(X,0)=G(X,N)
F(X,a+1)=G(X,F(X,a))
G(X,b+1,0:n,0)=F(X,b,N:n+1)
G(X,b+1,0:n,a+1)=F(X,b,G(X,b+1,0:n,a):n+1)
A(0)=G(N:N)
A(a+1)=G(A(a):A(a))
M=A(N)

Mを男数とする

タスク数
n=2以上の自然数
k,a,t,e,b=1以上の自然数
□=タスク

まず
(1,2,3,…)
という基本列を考えた時、
例えば、3∋6となった時
(1,2,{3,4,5,6},7,…)
となる。これを「第1_[1]集合数」とする。
次に、この第1_[1]集合数∋aとなるものを探す。
今回は、(3∋6)∋15とする。すると
(1,2,{{3,4,5,6},7,8,…13,14,15},16,…)
となる。これを「第1_[2]集合数」とする。
そして、第1_[k]集合数を「□1」とする。
次に、
(□1,□1+1,□1+2,□1+3,…)
という基本列を考える。この時「第2_[1]集合数」とする。
また、(□1∋□1+t)∋□1+eとなる数を
「第2_[2]集合数」とする。
この時、第2_[b]集合数を□2とする。
そして、□nで表せる最大の数+1を「ω_タスク」とする。
この時、(n∋n^n)でn=2として、
第1_[100]集合数を□1、
第2_[100]集合数を□2、
第3以降も同じ操作をし、□63を「ω_タスク1」とする。
nは、集合の最大の数-1を代入する。

x,yは0以上の整数

H()　＝　10↑^[10]10
H(0)　＝　10↑^[H()]10
H(x)　＝　10↑^[H(x-1)]10
H(0,0)　＝　10↑^[H(H(10))]10
H(0,x)　＝　10↑^[H(H(0,x-1))]10
H(y,0)　＝　10↑^[H(y-1,H(y-1,10))]10
H(y,x)　＝　10↑^[H(y-1,H(y,x-1))]10

H(10,10)はハイパー十

波紋数
n,a=1以上の自然数

[]をプールとして、この中に数を入れると、
入れた数より少し小さい数が帰ってくる。
このことを波を立てるという。
[3]=[3,2]
[a]=[a,a-1]
プールの中に複数の数があった時、それら
がそれぞれ、波を立てる。
[3,2]=[3,2,[2,2,1]]
[a,a-1]=[a,a-1,[a-1,a-1,a-2]]

[3]=102866400
[4]=447540739889644278259200

そして、とある集合nを考える。
この時、集合nはn×kで表す。
集合n={n,n2,n3,…}
次に、この集合nを使った集合Lを考える。
e=e番目の集合n
集合L={n_e,n_(n_a),n_(n_(n_a)),…}
さらに、集合Lを使った集合L(el)を考える。
集合L(el)
={L_e,L_(L_e),L_(L_(L_e)),…}
次に、集合nの強化をする。
集合n(al)={n,n^2,n^3,…}
さらに、集合n(al)を使った集合L(al)を考える
集合L(al)={n(al)_e,n(al)_(n(al)_e),…}
さらに、集合L(al)を使った、集合L_alを考える
集合L_al
={L(al)_e,L(al)_(L(al)_e),L(al)_(L(al)_(L(al)_e))}
最後に、集合L(el)と集合L_alを使った、集合L_Lを考える
集合L_L
={(L_al)_(L(el)_e),(L_al)_(L(el)_(L(el)_e)),…}

n=5,e=10の時の、[(L_L)_10]を波紋数とする

[3,2] = [3,2,[2,1]] ではないのか？
何度波を立てても先頭の数が減らないから無限に伸びるだけでは

>>45　追加
｢1番深い[]の1番右の数が0になったら、波が止まる｣
これを書くのを忘れてました。

[3]の計算
[3]
=[3,2]
=[3,2,[2,2,1]]
=[3,2,[2,2,1,[1,1,1,0]]]
=[3,2,[2,2,1,[0・(1・(1・(1)))]]]
=[3,2,[2,2,1,[0・(1・(2))]]]
=[3,2,[2,2,1,[0・6]]]
=[3,2,[2,2,1,7]]
=[3,2,[7・(1・(2・(2)))]]
=[3,2,[7・(1・(12))]]
=[3,2,[7・(156)]]
=[3,2,[7×24492]]
=[3,2,171444]
=[171444・(2・(3))]
=[171444・(24)]
=[171444×600]
=102866400

1・1=1₁1=1×₁1=1×(1+1)=1×2
1・2=1₂2=1×₂2=1×(2+2+2)=1×6
n・k=n×(k+k+…k+k)=n×(k^{2}+k)

あと、波を立てる場合は1番深い[]を基準に立てていきます。

1種類のカッコでどこまで大きくできるか調べてみたけど
Ω番目のオメガ不動点以下ということが分かった

[]　＝　1
[][]　＝　2
[][][]　＝　3
[][[]]　＝　ω
[][[]][]　＝　ω+1
[][[]][][]　＝　ω+2
[][[]][][[]]　＝　ω*2
[][[]][][[]][]　＝　ω*2+1
[][[]][][[]][][[]]　＝　ω*3
[][[]][[]]　＝　ω^2
[][[]][[]][]　＝　ω^2+1
[][[]][[]][][[]]　＝　ω^2+ω
[][[]][[]][][[]][[]]　＝　ω^2*2
[][[]][[]][[]]　＝　ω^3
[][[]][[][]]　＝　ω^ω
[][[]][[][]][]　＝　ω^ω+1
[][[]][[][]][][[]]　＝　ω^ω+ω
[][[]][[][]][][[]][[]]　＝　ω^ω+ω^2
[][[]][[][]][][[]][[][]]　＝　ω^ω*2
[][[]][[][]][[]]　＝　ω^(ω+1)
[][[]][[][]][[]][[]]　＝　ω^(ω+2)
[][[]][[][]][[]][[]][[]]　＝　ω^(ω+3)
[][[]][[][]][[]][[][]]　＝　ω^(ω*2)
[][[]][[][]][[]][[][]][[]]　＝　ω^(ω*2+1)
[][[]][[][]][[]][[][]]][[]][[][]]　＝　ω^(ω*3)
[][[]][[][]][[][]]　＝　ω^ω^2
[][[]][[][]][[][]][[]]　＝　ω^(ω^2+1)
[][[]][[][]][[][]][[]][[][]]　＝　ω^(ω^2+ω)
[][[]][[][]][[][]][[]][[][]][[]][[][]]　＝　ω^(ω^2+ω*2)
[][[]][[][]][[][]][[]][[][]][[][]]　＝　ω^(ω^2*2)
[][[]][[][]][[][]][[][]]　＝　ω^ω^3
[][[]][[][]][[][][]]　＝　ω^ω^ω
[][[]][[][]][[][][]][[][][][]]　＝　ω^ω^ω^ω
[][[][]]　＝　ψ_0(Ω)=ε_0
[][[][]][]　＝　ψ_0(Ω)+1
[][[][]][][[]]　＝　ψ_0(Ω)+ω
[][[][]][][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω)+ω^ω

[][[][]][][[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω)+ω^ω^ω
[][[][]][][[][]]　＝　ψ_0(Ω)*2
[][[][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+1)
[][[][]][[]][[]]　＝　ψ_0(Ω+2)
[][[][]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ω)
[][[][]][[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ω^ω)
[][[][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω))
[][[][]][[]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)+ω)
[][[][]][[]][[][][]][[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)+ω^ω)
[][[][]][[]][[][][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)*2)
[][[][]][[]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ω)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ω^ω)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ψ_0(Ω))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ψ_0(Ω)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ψ_0(Ω)*2)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[]][[][][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+ψ_0(Ω)*3)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)*2)

[][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[][]][[]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)*3)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+2))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+2)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+3))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω)+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω+1))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω^2))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω^ω))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω))+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)+1))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1))+1)
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+1)+1))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+2)))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ω)))
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]][[][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω))))
[][[][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω*2)=ε_1
[][[][]][[][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω*3)=ε_2

[][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω*ω)=ε_ω
[][[][]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω*ω+1)
[][[][]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω*(ω+1))
[][[][]][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω*ω^2)
[][[][]][[][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω*ω^ω)
[][[][]][[][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω*ψ_0(Ω))=ε_ε_0
[][[][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω^2)=ζ_0
[][[][]][[][][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω^2+1)
[][[][]][[][][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω^2+Ω)
[][[][]][[][][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω^2*ω)
[][[][]][[][][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω^3)=φ(3,0)
[][[][]][[][][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^ω)=φ(ω,0)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω)=Γ_0
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω^Ω+1)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω+Ω)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω*ω)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω^(Ω+1))
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^(Ω*ω))
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω^2)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω^ω)=SVO

[][[][]][[][][][]][[][][][][][]][[][][][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω^Ω^Ω)=LVO
[][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_2)=BHO
[][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω_2+1)
[][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_2+Ω)
[][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_2*2)
[][[][][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω_2*ω)
[][[][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_2*Ω)
[][[][][]][[][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_2^2)
[][[][][]][[][][][][][]][[][][][][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_2^Ω_2)
[][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω_3)
[][[][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_4)
[][[][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω)
[][[][[]]][[]]　＝　ψ_0(Ω_ω+1)
[][[][[]]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ω)
[][[][[]]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[]][[][][]][[]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω)+ω)
[][[][[]]][[]][[][][]][[]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω)+ω^ω)
[][[][[]]][[]][[][][]][[]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω)*2)
[][[][[]]][[]][[][][]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω+1))
[][[][[]]][[]][[][][]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω+ω))

[][[][[]]][[]][[][][]][[][]][[][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][[]]][[][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+Ω)
[][[][[]]][[][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω+Ω_2)
[][[][[]]][[][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω*2)
[][[][[]]][[][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ω)
[][[][[]]][[][[]][]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ω^ω)
[][[][[]]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω)+Ω_ω)
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]]][[][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω)+Ω_ω*ω)
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]]][[][[]][]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω)+Ω_ω*ω^ω)
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω)*2)
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω+1))
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]][]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω+ω))
[][[][[]]][[][[]][][]][[][[]][]][[][[]][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω)
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][]][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω^2)
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω^ω)
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω^Ω)
[][[][[]]][[][[]][][]]][[][[]][][][][]][[][[]][][][][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω^Ω^Ω)
[][[][[]]][[][[]][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω*Ω_2)

[][[][[]]][[][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^2)
[][[][[]]][[][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω)
[][[][[]]][[][[]][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω*ω)
[][[][[]]][[][[]][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω*ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[][[]][[]][][][]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω*Ω_2)
[][[][[]]][[][[]][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^(ω+1))
[][[][[]]][[][[]][[]][][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^(ω+2))
[][[][[]]][[][[]][[]][][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^(ω*2))
[][[][[]]][[][[]][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω^2)
[][[][[]]][[][[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ω^ω)
[][[][[]]][[][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[][[][]][[]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][[]]][[][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω)
[][[][[]]][[][[][]][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^2)
[][[][[]]][[][[][]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^ω)
[][[][[]]][[][[][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^ψ_0(Ω))
[][[][[]]][[][[][]][[][][][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^Ω)
[][[][[]]][[][[][]][[][][][]][[][][][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω^Ω^Ω)
[][[][[]]][[][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω_2)
[][[][[]]][[][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω_ω)

[][[][[]]][[][[][[]]]][[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_ω^Ω_ω^Ω_ω)
[][[][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_(ω+1))=TFBO
[][[][[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_(ω+2))
[][[][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ω*2))
[][[][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ω^2))
[][[][[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ω^ω))
[][[][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_ψ_0(Ω))
[][[][[][]][[]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_ψ_0(Ω+ψ_0(Ω)))
[][[][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω)
[][[][[][]][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^2))
[][[][[][]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^ω))
[][[][[][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^ψ_0(Ω)))
[][[][[][]][[][][][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^Ω))
[][[][[][]][[][][][]][[][][][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(Ω^Ω^Ω))
[][[][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_2)
[][[][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_ω)
[][[][[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_Ω_ω)
[[]]　＝　ψ_0(ψ_I(0))
[[]][[]]　＝　ψ_0(ψ_I(0))*2
[[]][[][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+1)

[[]][[][]][[][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+2)
[[]][[][]][[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+ω)
[[]][[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+ψ_0(Ω))
[[]][[][][]][[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω)
[[]][[][][]][[][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω^Ω)
[[]][[][][]][[][][][][]][[][][][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω^Ω^Ω)
[[]][[][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_2)
[[]][[][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_ω)
[[]][[][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_ψ_0(Ω))
[[]][[][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_Ω)
[[]][[][[][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_Ω_2)
[[]][[][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_Ω_ω)
[[]][[][[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)+Ω_Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2)
[[]][[[]]][[][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+1)
[[]][[[]]][[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+Ω_2)
[[]][[[]]][[][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+Ω_ω)
[[]][[[]]][[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*2+Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*3)

[[]][[[]]][[[]][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*ω)
[[]][[[]]][[[]][]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*ω^ω)
[[]][[[]]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][][]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω)
[[]][[[]]][[[]][][]][[[]][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω^Ω)
[[]][[[]]][[[]][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][][[]][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω+1))
[[]][[[]]][[[]][][[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω+2))
[[]][[[]]][[[]][][[]][][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω*2))
[[]][[[]]][[[]][][[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω^2))
[[]][[[]]][[[]][][[]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_(ω^ω))
[[]][[[]]][[[]][][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_Ω)
[[]][[[]]][[[]][][[][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)*Ω_Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*2)

[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][]][[[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][]][[[]][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω^Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]]][[[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][]]][[[]][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][]]][[[]][][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω^Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^2*Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^3)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^ψ_0(Ω))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][]][[[]][[]][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][]][[[]][[]][][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω^Ω)

[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω_2)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^Ω_Ω_ω)
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^ψ_I(0))
[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][[]]][[[]][[]][[]][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(0)^ψ_I(0)^ψ_I(0))
[[]][[[]][]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+1))
[[]][[[]][][]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+2))
[[]][[[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ω))
[[]][[[]][][[]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ω*2))
[[]][[[]][][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ω^2))
[[]][[[]][][[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ω^ω))
[[]][[[]][][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+ψ_0(Ω)))
[[]][[[]][][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω))
[[]][[[]][][[][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω^Ω))
[[]][[[]][][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω_2))
[[]][[[]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω_ω))
[[]][[[]][][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)+Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*2))
[[]][[[]][[]][]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*2+1))
[[]][[[]][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*3))

[[]][[[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*ω))
[[]][[[]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*ψ_0(Ω)))
[[]][[[]][[][][]][[][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω))
[[]][[[]][[][][]][[][][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω^Ω))
[[]][[[]][[][][][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω_2))
[[]][[[]][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω_ω))
[[]][[[]][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)*Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2))
[[]][[[]][[[]]][]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+1))
[[]][[[]][[[]]][][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ω))
[[]][[[]][[[]]][][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)))
[[]][[[]][[[]]][[]][[]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*2))
[[]][[[]][[[]]][[]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*ω))
[[]][[[]][[[]]][[]][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[]][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2+ψ_I(0)*Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[]][[[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*2))
[[]][[[]][[[]]][[]][[[]]][[]][[[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*3))
[[]][[[]][[[]]][[][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*ω))

[[]][[[]][[[]]][[][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^2*Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^3))
[[]][[[]][[[]]][[[]][]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^ω))
[[]][[[]][[[]]][[[]][][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[[]][][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]]][[[]][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^ψ_I(0)))
[[]][[[]][[[]]][[[]][[]]][[[]][[]][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_(ψ_I(0)^ψ_I(0)^ψ_I(0)))
[[]][[[]][[[]][]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)+1))
[[]][[[]][[[]][][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)+ω))
[[]][[[]][[[]][][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)+Ω_ω))
[[]][[[]][[[]][][[][[][[]]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)+Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]][[]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)*2))
[[]][[[]][[[]][[][]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)*ω))
[[]][[[]][[[]][[][[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)*Ω_ω))
[[]][[[]][[[]][[][[][[]]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)*Ω_Ω_ω))
[[]][[[]][[[]][[[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)^2))
[[]][[[]][[[]][[[]]][[[]]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_(ψ_I(0)^ψ_I(0)))
[[]][[[]][[[]][[[]][]]]]　＝　ψ_0(Ω_Ω_Ω_(ψ_I(0)+1))
[[][]]　＝　ψ_0(ψ_I(1))

[[][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(2))
[[][][][]]　＝　ψ_0(ψ_I(3))
[[][[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ω))
[[][[]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ω^ω))
[[][[]][[][]][[][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ω^ω^ω))
[[][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω)))
[[][[][]][[][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω^2)))
[[][[][]][[][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω^Ω)))
[[][[][]][[][][][]]][[][][][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω^Ω^Ω)))
[[][[][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_2)))
[[][[][][][]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_3)))
[[][[][[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_ω)))
[[][[][[][[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_Ω_ω)))
[[][[][[][[][[]]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(Ω_Ω_Ω_ω)))
[[[]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(0))))
[[[[]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(0))))))
[[[[[]]]]]　＝　ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(ψ_0(ψ_I(0))))))))
{}　＝　ψ_0(ψ_I(Ω))

n種類のカッコで作ったらもっと大きくなりそうだ

どんどん冗長になるが
[][][[]]　＝　ω　や　[][][][[]]　＝　ω
にしたらもっと伸びないかな

最終的に
[]...ω...[][[]]　＝　ω　か

なるほど今度は

[][][[]]　＝　ω

に挑戦してみよう
途中がどいう形になるか今は想像つかないけど

f(x,y)=
y/x (y|x)
f(x+1,(y+1)^x) (otherwise)

g(x)=f(2^x,1)

としたときのg(10)

すいません、訂正です。
f(x,y)=
y/x (y|x)
f(x+1,(y+1)^x) (otherwise)

g(x)は変更なし

度々すみません。定義をどう書いたかを勘違いしており、訂正でも同じことを書いてしまいました。
>>67の定義の通りで正しいです。

今ある順序数崩壊関数を適切にカッコに置き換えれば大きなものができると思うけれど

カッコ使ってるの見て、カッコ使った巨大数考えたけど、コレジャナイ感がすごい

大カッコ数
[]で表す数

0=・
1=[]
2=[][]
3=[][][]
m=[][][]…[][][]

n×k
=[][]…[][]][][]…[][]
(n個分の大カッコとk個分の大カッコの間に]を入れる)

n↑^{t}k
=[][]…[][]][][]…[][][[][]…[][]
(][の間にt個分の大カッコを入れる)

これで、10^100個の大カッコで書ける最大の数+1

みたいなやつ。そんなに大きくならなそうな気がする。

定義自体は適当に考えた。
1グーゴル個以内でもいいし、1000個以内でもいいと思う

AとBがどちらがより大きい数を思い浮かべることができるかを競うとしたら、
どうやれば勝てるだろうか。

どなたか>>67のf(x,1)を解析してくださいませんか。
僕の頭では到底出そうになくて。

どなたか>>67のf(x,1)を解析してくださいませんか。
僕の頭では到底出そうになくて。

すみません、何故か同じ内容が2回投稿されてしまいました。

>>73
「君が次に言う数に1を足した数」でいいんじゃね？

お互いにそれ言ったら停止しなさそう

二人の人間AとBが次のようなゲームをするとする。
1から6までの整数を1つだけ書いて、せーのでもって同時に提示する。
そのときAとBの書いた整数が一致していたら、二人ともそれぞれ1万円を失う。
AとBの書いた整数が一致していない場合には、
Aの方がBより大きい数字であるならBは1万円を失い、Aは1万円を得る。
Bの方がAより大きい数字であるならAは1万円を失い、Bは1万円を得る。

このゲームをしないという選択は許されないものとして、
ゲームは1分に1回ずつ、ずーっと多数回繰り返されていくものとする。
どういう様にするのが合理的だろうか？

期待値マイナスなら
交互に勝つよう話を合わせる

二人の人間AとBが次のようなゲームをするとする。
[0,1]区間の任意の実数aとbをそれぞれが紙に書いて
せーので同時に提出する。

ある1よりも小さいεが設定されていて

　|a-b|<＝εであれば、大きい数を出した側が1万円を胴元に取り上げられる。
そうではないときは、大きい数を出した側が1万円を得て、小さい数を出した側が
1万円を失う。

このとき、どうすればもっとも合理的だろうか。たとえばεの値は
1／2とか1/3とか1／10などとする。

>>67
x[m+1]=x[m]+1
y[m+1]=(y[m]+1)^{x[m]}

任意のn>0を法としたときにx[n] y[n]ともに周期的に変化する
nを法として0に合同ならば任意のa>0につきamを法としても0に合同

とだけ書いておく

(y+1)^x≡0 mod x[0]
の合同方程式を解いて強さを評価できるかもしれない。

寝る

強タクシー数

k,n=1以上の自然数

任意の数kを2個のk乗数の足し合わせで表せ
る数をT(k)と表す。
また、T(n)の時、n個の解がある数とする

T(1)=2　←1^{1}+1^{1}

T(2)以降はまだ計算してない

T(2)=65
↑8^{2}+1^{2}or7^{2}+4^{2}

T(3)=87539319
↑
167^{3}+436^{3}
228^{3}+423^{3}
255^{3}+414^{3}

>>84
定義が理解できない。
2個の1乗数の足し合わせで表せる数なら無数に存在するけど

2個のk乗数の足し合わせでk通りに表せる最小の数をT(k)で表す
ってことなのか？

>>67
十分大きいAをしてAnを法とした場合で考えて、>>82でいう周期的な変化の中でy≡0となることがあるとする。
周期をλとした時、nとλが互いに素であればnλ以内に関数fの値がえられる

で考えてみたけどどうだろう

>>86
計算してみたら、85もT(2)の条件と合ってしまうから、最小の数っていうルールも追加します。

>>86
はい、合ってます。

アッカーマン演算子を定義

a,b,n　非負整数
X　0個以上の非負整数
a:n　n個のa

a[]0=a+1
0[X](b+1)=1[X]b
(a+1)[X](b+1)=(a[X](b+1))[X]b
a{X}0=a[X]a
a{X}(b+1)=(a{X}b)[X](a{X}b)
0[0:n+1]0=1{1:n}1
(a+1)[0:n+1]0=(a[0:n+1]0){(a[0:n+1]0):n}(a[0:n+1]0)
0[X,b+1,0:n]0=1{X,b,1:n}1
(a+1)[X,b+1,0:n]0=(a[X,b+1,0:n]0){X,b,(a[X,b+1,0:n]0):n}(a[X,b+1,0:n]0)

強化アッカーマン演算子を定義

a,b,n　非負整数
X　0個以上の非負整数
a:n　n個のa

a[]0=a+1
0[X](b+1)=1[X]b
(a+1)[X](b+1)=(a[X](b+1))[X]b
0{X}0=1[X]1
(a+1){X}0=(a{X}0)[X](a{X}0)
0{X}(b+1)=1{X}b
(a+1){X}(b+1)=(a{X}(b+1)){X}b
0[0:n+1]0=1{1:n}1
(a+1)[0:n+1]0=(a[0:n+1]0){(a[0:n+1]0):n}(a[0:n+1]0)
0[X,b+1,0:n]0=1{X,b,1:n}1
(a+1)[X,b+1,0:n]0=(a[X,b+1,0:n]0){X,b,(a[X,b+1,0:n]0):n}(a[X,b+1,0:n]0)

黙々と定義をしていく

a,b,nは非負整数

0[]0=1+1
(a+1)[]0=(a[]0)+(a[]0)
0[](b+1)=1[]b
(a+1)[](b+1)=(a[](b+1))[]b

0[][]0=1[]1
(a+1)[][]0=(a[][]0)[](a[][]0)
0[][](b+1)=1[][]b
(a+1)[][](b+1)=(a[][](b+1))[][]b

0[][][]0=1[][]1
(a+1)[][][]0=(a[][][]0)[][](a[][][]0)
0[][][](b+1)=1[][][]b
(a+1)[][][](b+1)=(a[][][](b+1))[][][]b

a[]:0[]b=a[]b
a[]:1[]b=a[][]b
a[]:2[]b=a[][][]b
a[]:3[]b=a[][][][]b
a[]:n[]b=a[][]...{n+1}...[][]b

0[]:(n+1)[]0=1[]:n[]1
(a+1)[]:(n+1)[]0=(a[]:(n+1)[]0)[]:n[](a[]:(n+1)[]0)
0[]:n[](b+1)=1[]:n[]b
(a+1)[]:n[](b+1)=(a[]:n[](b+1))[]:n[]b

0[[]]0=1[]:1[]1
(a+1)[[]]0=(a[[]]0)[]:(a[[]]0)[](a[[]]0)
0[[]](b+1)=1[[]]b
(a+1)[[]](b+1)=(a[[]](b+1))[[]]b

0[[]][]0=1[[]]1
(a+1)[[]][]0=(a[[]][]0)[[]](a[[]][]0)
0[[]][](b+1)=1[[]][]b
(a+1)[[]][](b+1)=(a[[]][](b+1))[[]][]b

0[[]][][]0=1[[]][]1
(a+1)[[]][][]0=(a[[]][][]0)[[]][](a[[]][][]0)
0[[]][][](b+1)=1[[]][][]b
(a+1)[[]][][](b+1)=(a[[]][][](b+1))[[]][][]b

0[[]][][][]0=1[[]][][]1
(a+1)[[]][][][]0=(a[[]][][][]0)[[]][][](a[[]][][][]0)
0[[]][][][](b+1)=1[[]][][][]b
(a+1)[[]][][][](b+1)=(a[[]][][][](b+1))[[]][][][]b

a[[]][]:0[]b=a[[]][]b
a[[]][]:1[]b=a[[]][][]b
a[[]][]:2[]b=a[[]][][][]b
a[[]][]:3[]b=a[[]][][][][]b
a[[]][]:n[]b=a[[]][][]...{n+1}...[][]b

0[[]][]:(n+1)[]0=1[[]][]:n[]1
(a+1)[[]][]:(n+1)[]0=(a[[]][]:(n+1)[]0)[[]][]:n[](a[[]][]:(n+1)[]0)
0[[]][]:n[](b+1)=1[[]][]:n[]b
(a+1)[[]][]:n[](b+1)=(a[[]][]:n[](b+1))[[]][]:n[]b

0[[]][[]]0=1[[]][]:1[]1
(a+1)[[]][[]]0=(a[[]][[]]0)[[]][]:(a[[]][[]]0)[](a[[]][[]]0)
0[[]][[]](b+1)=1[[]][[]]b
(a+1)[[]][[]](b+1)=(a[[]][[]](b+1))[[]][[]]b

0[[]][[]][]0=1[[]][[]]1
(a+1)[[]][[]][]0=(a[[]][[]][]0)[[]][[]](a[[]][[]][]0)
0[[]][[]][](b+1)=1[[]][[]][]b
(a+1)[[]][[]][](b+1)=(a[[]][[]][](b+1))[[]][[]][]b

0[[]][[]][][]0=1[[]][[]][]1
(a+1)[[]][[]][][]0=(a[[]][[]][][]0)[[]][[]][](a[[]][[]][][]0)
0[[]][[]][][](b+1)=1[[]][[]][][]b
(a+1)[[]][[]][][](b+1)=(a[[]][[]][][](b+1))[[]][[]][][]b

0[[]][[]][][][]0=1[[]][[]][][]1
(a+1)[[]][[]][][][]0=(a[[]][[]][][][]0)[[]][[]][][](a[[]][[]][][][]0)
0[[]][[]][][][](b+1)=1[[]][[]][][][]b
(a+1)[[]][[]][][][](b+1)=(a[[]][[]][][][](b+1))[[]][[]][][][]b

a[[]][[]][]:0[]b=a[[]][[]][]b
a[[]][[]][]:1[]b=a[[]][[]][][]b
a[[]][[]][]:2[]b=a[[]][[]][][][]b
a[[]][[]][]:3[]b=a[[]][[]][][][][]b
a[[]][[]][]:n[]b=a[[]][[]][][]...{n+1}...[][]b

a[[]]:0[[]]b=a[[]]b
a[[]]:1[[]]b=a[[]][[]]b
a[[]]:2[[]]b=a[[]][[]][[]]b
a[[]]:3[[]]b=a[[]][[]][[]][[]]b
a[[]]:n[[]]b=a[[]][[]]...{n}...[[]][[]]b

0[[][]]0=1[[]]:1[[]]1
(a+1)[[][]]0=(a[[][]]0)[[]]:(a[[][]]0)[[]](a[[][]]0)
0[[][]](b+1)=1[[][]]b
(a+1)[[][]](b+1)=(a[[][]](b+1))[[][]]b

疲れたのでこの辺でやめとく

ハイパー演算子の自然な拡張

【変数の定義域】
a,b,dは、自然数
cは、非負整数

【既存式による自然数のハイパー演算子を定義】
a[0]b=a×b
a[c+1]b=a↑^(c+1)b

【漸化式による自然数のハイパー演算子を定義】
a[c]1=a
a[0](b+1)=a+(a[0]b)
a[c+1](b+1)=a[c](a[c+1]b)

【ハイパー演算子を自然数より大きな最小の順序数で定義】
a{1}b=a
a{d+1}b=a[a[ω]b](a{d}b)
a[ω]1=a
a[ω](b+1)=a{b+1}b

【自然数より大きな最小の順序数で拡張したハイパー演算子の使用例】
a[ω]1=a
a[ω]2=a[a[ω]1]a=a[a]a
a[ω]3=a[a[ω]2]a[a[ω]2]a=a[a[a]a]a[a[a]a]a
a[ω]4=a[a[ω]3]a[a[ω]3]a[a[ω]3]a=a[a[a[a]a]a[a[a]a]a]a[a[a[a]a]a[a[a]a]a]a[a[a[a]a]a[a[a]a]a]a
a[ω]5=a[a[ω]4]a[a[ω]4]a[a[ω]4]a[a[ω]4]a
a[ω]6=a[a[ω]5]a[a[ω]5]a[a[ω]5]a[a[ω]5]a[a[ω]5]a
...

>>65
[[]]　＝　ω　の場合、　[()]　＝　ε_0
[][[]]　＝　ω　の場合、　[()]　＝　ψ_0(ψ_I(Ω))
[][][[]]　＝　ω　の場合、　[()]　＝　なんかとんでもなくデカい極限順序数

具体的にどんな順序数になるか非常に興味深い

トップノード以外にラベルがついているヒドラ？

ハイパー演算子を多重リストへと拡張

a,b,c,d,n,m,m0〜m(n),x　非負整数
X　0個以上の非負整数
X[]　0個以上の非負整数と[]。ただし、1個以上の場合は右端は必ず[]
X[c]　0個以上の非負整数と[],[0]〜[c]。ただし、1個以上の場合は右端は必ず[c]

$(a,m)=([],a:a):m
&(a,m)=(a:a,$(a,m))
$(a,m,0)=([0],&(a,a)):m
&(a,m,0)=(&(a,a),$(a,m,0))
$(a,m,c+1)=([c+1],&(a,a,c)):m
&(a,m,c+1)=(&(a,a,c),$(a,m,c+1))

%(a,m)=$(a,m)
%(a,m,0)=(%(a,m),$(a,m0))
%(a,m,c+1)=(%(a,m,c),$(a,m(c+1)))

#m=([]:m)
#(m,0)=(#m,[0]:m0)
#(m,c+1)=(#(m,c),[c+1]:m(c+1))
#(m,a..b)=([a]:m(a),[a+1]:m(a+1),[a+2]:m(a+2),...,[b-2]:m(b-2),[b-1]:m(b-1),[b]:m(b))　かつ　a≦b

X{}=(X[])
X{0}=(X[0],X{})
X{c+1}=(X[c+1],X{c})
X{a..b}=(X[a],X[a-1],X[a-2],...,X[b+2],X[b+1],X[b])　かつ　a＞b

a[]0=a
a[0]0=0
a[0と空以外]0=1
a[](b+1)=1+(a[]b)
a[X{x..(c+1)},#(m,c..c),[c]](b+1)=a[X{x..(c+1)},&(a,m(c),c)](a[X{x..(c+1)},#(m,c..c),[c]]b)
a[X{x..(d+1)},[0],#(m,d..c),[c]](b+1)=a[X{x..(d+1)},&(a,m(c),c)](a[X{x..(d+1)},[d],#(m,d..c),[c]]b)　かつ　d＜c
a[X{x..0},[],#(m,c),[c]](b+1)=a[X{x..0},a:a,%(a,m),$(a,m(c)+1,c)](a[X{x..0},[],#(m,c),[c]]b)
a[X{x},0:n,0,#(m,c),[c]](b+1)=a[X{x},a:n,%(a,m),$(a,m(c)+1,c)](a[X{x},0:n,0,#(m,c),[c]]b)
a[X{x},X,b+1,0:n,#(m,c),[c]](b+1)=a[X{x},X,b,a:n,%(a,m),$(a,m(c)+1,c)](a[X{x},X,b+1,0:n,#(m,c),[c]]b)

>>98
間違い
a[X{x..(d+1)},[0],#(m,d..c),[c]](b+1)=a[X{x..(d+1)},&(a,m(c),c)](a[X{x..(d+1)},[d],#(m,d..c),[c]]b)　かつ　d＜c

正しくは
a[X{x..(d+1)},[d],#(m,d..c),[c]](b+1)=a[X{x..(d+1)},&(a,m(c),c)](a[X{x..(d+1)},[d],#(m,d..c),[c]]b)　かつ　d＜c

【変数及び記号の定義】
a,b,c,d,e,k,m,m0〜m(c) := 非負整数
a:k := k個のa
[] := 空配列
[c] := 1個のcを要素に持つ配列
&& := かつ
X := 0個以上の非負整数
X[] := 0個以上の非負整数または空配列、但し1個以上の時は右端は必ず空配列
X[c] := 0個以上の非負整数または1個以下のc以下を要素に持つ配列、但し1個以上の時は右端は必ず1個以下のcを要素に持つ配列

【演算子の優先順位の定義】（左の方が結合が強く、右の方が結合が弱い）
()　{}　[]　+　:　..　=　&&　,

【未知の非負整数または配列の列挙順番の定義】
X{..}=X{}=X[]
X{0}=(X[0],X{})
X{c+1}=(X[c+1],X{c})
X{..d}=X{d}
X{c..c}=X[c]
X{c..c+d+1}=(X[c+d+1],X{c..c+d})

【既知の配列の列挙順番の定義】
#(m,..)=#m=[]:m
#(m,0)=(#m,[0]:m0)
#(m,c+1)=(#(m,c),[c+1]:m(c+1)])
#(m,..c)=#(m,c)
#(m,c..c)=[c]:m(c)
#(m,c..c+d+1)=(#(m,c..c+d),[c+d+1]:m(c+d+1))

【入れ子要素の列挙順番の定義】
$(a,m,..)=$(a,m)=([],a:a):m
%(a,m)=(a:a,$(a,m))
$(a,m,0)=([0],%(a,a)):m
%(a,m,0)=(%(a,a),$(a,m,0))
$(a,m,c+1)=([0],%(a,a,c)):m
%(a,m,c+1)=(%(a,a,c),$(a,m,c+1))
$(a,m,..0)=($(a,m,..),$(a,m0,0))
$(a,m,..c+1)=($(a,m,..c),$(a,m(c+1),c+1))
$(a,m,c..c)=$(a,m(c),c)
$(a,m,c..c+d+1)=($(a,m,c..c+d),$(a,m(c+d+1),c+d+1))