ココで怪しいのは
ωαω=ω∪αn=∪ωαn
かな
右の等式を証明するには
ωαn⊂ω∪αn
と
β∈ω∪αn→β∈∪ωαn
を言わねばならない
前者はホボ自明で
後者は
ω∪αn
が基数であることが使えそう
基数だからその元の濃度はℵ∪αnより小さい
ℵ∪αnより濃度の小さい順序数の濃度は
どれかのℵαnよりも小さいはず
もしどのℵαnより以上の濃度を持つとすると
ℵ∪αn以上の濃度を持つよね（要証明？）
どれかのℵαnより小さい濃度なら
順序数として
β⊂ωαn=αn+1
なので
β∈ωαn+1⊂∪ωαn